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专题训练之最短路径问题(最全面的经典例题)

最短路径问题
1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点面
爬到点B处,则它爬行的最短路径是 _______________ 。

②如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是____________________ 。

2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

*李庄
张村.
②如图,直线L同侧有两点A B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。

请在图中找出点P的位置,并计算PA+P啲最小值。

.B
A■
_____________________ L
③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km张村与李庄的水平距离为3Km则所用水管最短长度为。

A沿木块侧
A B
是一个长方体木块,已知 AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂
蚁在点A D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是2、 现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度
忽略不计),圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm ,则所缠金丝带长度的最小值 为 。

3、 如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点B 处吃到 食物,知圆柱体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径
为 。

5、 在菱形ABCD 中 AB=2 / BAD=60,点E 是AB 的中点,P 是对角线 AC 上
的一个动点,贝S PE+PB 勺最小值为 ___________ 。

6、 如图,在△ ABC 中, AC= BC= 2,Z ACB= 90°, D 是 BC 边的中点,E 是 AB 边 上一动点,则EO ED 的最小值为 ____________ 。

7、 AB 是OO 的直径,AB=2 OC 是O O 的半径,OCL AB,点 D 在 AC 上,AD 二 2CD
点P 是半径OC 上的一个动点,贝S AP+PD 勺最小值为 __________ 。

&如图,点P 关于OA OB 的对称点分别为 C D,连接CD 交OA 于M 交OB
于N 若CD= 18cm 则厶PMN 勺周长为 ___________ 。

9、已知,如图DE >^ ABC 的边AB 的垂直平分线,D 为垂足,DE 交BC 于 E ,且
AC= 5, BC= 8,则厶 AEC 的周长为 __________ 。

10、已知,如图,在△ ABC 中, AB<AC BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D, 交AC 四、巩固提高
(一) 1、如图
处,它要沿着木块侧面爬到点 N 是AC 上的一动点,
DW
第1题 A
第3题
4、正方形ABCD 勺边长为8, M 在DC 上,且DM= 2, A
C
于点E, AC= 8, ABE的周长为14,则AB的长。

11、 如图,在锐角厶ABC 中,AB= 4 2,Z BAC= 45°,/ BAC 的平分线交 BC 于 点D, M N 分别是AD 和AB 上的动点,贝S BM+MI 的最小值是 _____ .
12、 在平面直角坐标系中,有 A (3,— 2), B (4, 2)两点,现另取一点C (1, n ),当n 二 ______ 时,AC + BC 的值最小.
13、 A ABC 中,/ C = 90 ° , AB = 10, AC=6,BC=8过 AB 边上一点 P 作 PEL AC
于E, PFL BC 于 F , E 、F 是垂足,则EF 的最小值等于 ____________ .
14、 如图,菱形 ABCD 中, AB=2, / BAD=60,点 E 、F 、P 分别是 AB BC AC 上的动点,贝S PE+PF 的最小值为 __________ .
15、如图,村庄 A B 位于一条小河的两侧,若河岸 a 、b 彼此平行,现在要建 设一座与河岸垂直的桥 CD 问桥址应如何选择,才能使A 村到B 村的路程最近? 16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A (2, 0),
B (0, 4).
(1) 求该函数的解析式;
(2) O 为坐标原点,设OA AB 的中点分别为C D PD
的最小值,并求取得最小值时 P 点坐标.
16、如图,已知/ AOB 内有一点P ,试分别在边0A 和
0B 上各找一点E 、F ,使得 △ PEF 的周长最小。

试画
出图形,并说明理由。

17、如图,直线I 是第一、三象限的角平分线. 实验与探究:
(1) 由图观察易知A (0, 2)关于直线I 的对称点A '的坐标为(2, 0),请在
图中分别标明B (5, 3)、C (-2, 5)关于直线I 的对称点B'、C 的位置,
并写出他
第14
PO
们的坐标:B' __________ 、C ___________ ;
归纳与发现:
(2)结合以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P (a, b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点P'的坐标为_______________ ;
运用与拓广:
(3)已知两点D (1,- 3)、E (- 1,- 4),试在直线I上确定一点Q 使点Q 到D E 两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
18、几何模型:
条件:如图,A B 是直线L 同旁的两个定点.问题:在直线 L 上确定一点P, 使PA+PB 勺值最小.
方法:作点A 关于直线1的对称点A ,连结A B 交1于点P ,则PA P^ A B 的值最 小(不必证明).
模型应用:
(1) 如图1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点,P 是AC 上一动点.连
结BD ,由正方形对称性可知,B 与D 关于直线AC 对称.连结ED 交AC 于P ,则 PB 十PE 的最小值是 ___________________ ;
(2) 如图 2, O O 的半径为 2,点 A 、B 、C 在O O 上, OA_OB , . AOC=60°, P 是 OB 上一动点,求PA PC 的最小值;
(3) 如图 3,Z AOB=45 , P 是/ AOB 内一点,PO=1Q Q R 分别是 OA OB 上 的动点,求△ PQR 周长的最小值.
(1)如图①,四边形ABCD 是正方形,AB^Ocm , 的一个动点,求PC PE 的最小值;
(2)如图②,若四边形ABCD 是菱形,AB=10cm , ABC=45。

,E 为边BC 上的 一个动点,P 为BD 上的一个动点,求PC PE 的最小值;
问题解决(3)如图③,若四边形 ABCD 是矩形,AB=10cm , BC=20cm , E 为边 BC 上的一个动点,P 为BD 上的一个动点,求PC PE 的最小值;
E 为边BC 的中点,P 为BD 上 19、问题探究
C 图2 。


图3
B E A D
B
20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2 , 0),连结0A,将线段0A绕原点0顺时针旋转120。

,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A O B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶BOC勺周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由•(注意:
本题中的结果均保留根号)八
21、如图,抛物线y = ax2bx c的顶点P的坐标为1,-4仝,交x轴于A B两I 3丿点,交y轴于点c(o,_.3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)把厶ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC
判断四边形ADBC勺形状,并说明理由.
(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△ FBD的周长最小,
若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知:直线y」X • 1与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线y J X2• bx • c与直
2 2
线交于A E两点,与x轴交于B C两点,且B点坐标为(1, 0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上移动,当厶PAE是直角三角形且以P为直角顶点时,求点P 的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上找一点M使I AM -MC |的值最大,求出点M的坐标.。

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