复变函数教学大纲
一、课程概述：
复变函数是数学专业一门主要的专业必修课。

复变函数是数学的一门重要分支。

复变函数是数学分析的后续课程。

它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。

通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学科研及其他实际工作打好基础。

本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数及其性质，复变函数的积分及其性质，柯西积分定理及柯西积分公式，复变函数展开为泰勒级数、洛朗级数，孤立奇点的分类（包括无穷远点），留数在求积分中的应用，共形映射的概念及性质等.
二、教学目的：
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。

通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。

三、学时分配表
四、教学基本内容：
第一章、复数与复变函数（8学时）
教学要求：
掌握复数及运算规律, 掌握复数与平面点、平面向量的对应关系。

掌握复数的几何表示及运算性质；掌握模，辅角的概念及性质；掌握复数的几种表示形式及相互之间的运算关系。

理解复数的乘积及商、幂、根的求法，了解区域的概念。

理解复变函数及复变函数的极限和连续性。

掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念，了解区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点、复平面及扩充复平面的概念。

难点是辐角的概念及复球面与无穷远点的要领。

一、复数
复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、共轭复数。

二、复平面上的点集
平面点集的几个基本概念，区域与若尔当（Jordan）曲线区域、集与集之间的距离，区域的连通性。

三、复变函数
复变函数的概念，复变函数的极限与连续性。

四、复球面与无穷远点。

复球面的概念，扩充复平面上的几个概念。

注：对复数理论学生已有所掌握，这里不求完整，只对它作简要复习。

第二章解析函数（12学时）
教学要求：
掌握解析函数的概念及柯西-黎曼条件。

理解可微与解析的关系。

掌握函数解析的充要条件。

掌握初等解析函数有基本特征及其计算法。

重点：解析函数概念，柯西-黎曼条件，基本初等函数的解析性以及函数解析的充要条件。

掌握初等函数及其计算法。

难点：初等多值函数，有关支点，支割线等概念，一般只要求理解
教学内容：
一、复变函数的导数与微分，解析函数的概念，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件。

二、初等解析函数
幂函数，指数函数，三角函数与双曲函数
三、初等多值函数
根式函数，对数函数以及一般幂函数与一般指数函数。

第三章复变函数积分（12学时）
本章包含复变解析函数的最精彩的部分。

这一章是整个复变函数的重点。

它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。

理解复变函数积分的定义，了解其基本性质，能将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分的计算。

掌握柯西积分定理。

掌握柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式，并能运用它们计算某些复积分，了解解析函数与调和函数的关系。

掌握柯西不等式、刘维尔定理；理解摩勒拉定理是柯西积分定理的逆定理．
重点：柯西积分定理和柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式。

教学内容：
一、复积分的概念及其简单性质。

复变函数的定义，复变函数积分的计算问题，复变函数积分的基本性质。

二、柯西积分定理
柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广
柯西积分定理推广到复周线的情形
三、柯西积分公式及其推论
柯西积分公式，解析函数的无穷可微性
柯西积分不等式及刘维尔(Liouville)定理、摩勒拉定理。

四、调和函数概念，解析函数与调和函数的关系。

第四章解析函数的幂级数表示法（10学时）
教学要求：
了解复数项级数。

理解幂级数的概念、收敛半径及其求法。

了解幂级数与解析函数的关系，掌握复变函数在什么条件下可展成幂级数。

掌握的麦克劳林展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。

理解解析函数零点的孤立性及唯一性定理以及最大模原理。

重点：在什么条件下复变函数可展成幂级数，并能将一些解析函数展开成幂级数
教学内容：
一、复级数的基本性质
复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。

二、幂级数
幂级数的敛散性，Abel定理，收敛半径的求法
柯西－阿达玛（Hadamard）公式和幂级数的解析性。

三．解析函数的泰勒（Taylor）展式
泰勒定理
幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
解析函数的Taylor展开式
一些初等函数的泰勒展式。

四.解析函数零点的孤立性及惟一性定理
解析函数的孤立性
解析函数唯一性定理
最大模原理。

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点（12学时）
教学要求：
会将解析函数展为罗朗级数，能熟练判别孤立奇点的类型，了解毕卡定理了解解析函数在无穷远点的性质，掌握整函数与亚纯函数的简单应用。

重点：掌握复变函数在什么条件下可展成罗朗级数并会展开为罗朗级数。

教学内容：
一、解析函数的罗朗展式
双边幂级数
解析函数的洛朗展式
罗朗级数与泰勒级数之间的关系。

解析函数在孤立奇点邻域邻域内的洛朗展式
二、解析函数的孤立奇点
孤立奇点的三种类型
席瓦尔兹引理，毕卡定理
三类孤立奇点的判别。

三、解析函数在无穷远点邻域的性质。

四、整函数与亚纯函数概念及简单性质。

第六章残数理论及其应用（12学时）
教学要求：
了解残数的概念，会求函数在孤立奇点的残数，能用残数定理计算一些类型的定积分、反常积分和复积分，掌握儒歇定理的简单应用。

重点：残数及残数计算方法，利用残数求实积分。

难点：无穷远点的残数求法及其应用，积分路径上有奇点的实积分。

后者只要求了解。

教学内容：
一、留数
留数的概念，留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的残数。

二、用留数定理计算实积分（主要是四种类型）。

计算型积分
计算型积分
计算型积分
计算积分路径上有奇点的积分
三、辐角原理及其应用：对数残数，辐角原理，儒歇定理，本节重点是儒歇定理的应用。

第七章保形变换（6学时）
教学要求：
掌握单叶解析函数的变换性质，熟练掌握分式线性函数的变换性质，掌握某些初等函数的变换性质，并利用它们解决有关保形变换问题，了解边界对应原理。

教学内容：
一、解析变换（映照）的特性
解析函数的保域性
解析函数的保角性――导数的几何意义
单叶解析变换的共形性。

二、分式线性变换
分式线性变换及其分解
分式线性变换的共形性
分式线性变换的保交比性
分式线性变换的保圆周（圆）性
分式线性变换的保对称性等
分式线性变换的应用。

三、某些初等函数所构成的共形映射
幂函数与根式函数
指数函数与对数函数
由圆弧构成的两角形区域的共形变换
四、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理。

注：本章难点是求一个区域到另一个区域的保形变换，可能要经过若干中间步骤复合而成，即求复合变换。

要掌握这些过程，要求学生把每个上述提及的初等函数变换特性弄清楚，以一个图示来揭示各区域之间变换是如何实现的。

注：本章如课时紧可不讲，课时多时可作一介绍，考试可不作要求。

五、教材及主要教学参考书
教材：钟玉泉，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社，2004年1月。

主要教学参考书：
1. 《复变函数论学习指导》，钟玉泉，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社，2012年1月。