则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0, a1, … , an的线性代数方程组
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n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a a x a x 0 1 n n n yn
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设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi
( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x)
在xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多
项式Pn(x)使其满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (5-1)
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第5章 代数插值
第一节 插值多项式的存在唯一性 第二节 拉格朗日插值多项式 第三节 牛顿插值多项式 第四节 埃尔米特插值
第五节 分段低次插值
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第一节
插值多项式的存在唯一性
一、插值问题
为了研究函数的变化规律，往往需要求出不 在表上的函数值，因此，我们希望根据给定的函 数表做一个既能反映函数 y=f(x)的特性，又便于 计算的简单函数P(x)，用P(x)近似f(x). 通常选一 类较简单的函数(如代数多项式或分段代数多项式) 作为P(x),并使P(xi)=f(xi)对i=0,1,...,n成立. 这样确 定的P(x)就是我们希望得到的插值函数.
述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使
它通过已知的n+1个点
(xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
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二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值 条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (5-2)
（5-3）
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行 列式是范德蒙行列式，即
Байду номын сангаас
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1 1 1 x0 x1 xn x0 2 x0 n x12 x1n xn 2 xn n
n j i 0

( x j xi ) 0
因此，线性方程组 (5.3) 的解a0, a1,…, an存在且唯一， 于是插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一.
这就是用多项式的插值问题.即代数插值.
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其中Pn(x) 称为 f(x) 的插值多项式, f(x) 称为被插函 数,xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为插值点, [a, b]称为插值区间, 式(5-1)称为插值 条件。 从几何意义来看,上