实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
2i xi = −1 +
Ln ( x) = ∑
1 l ( x) 2 i i =0 1 + 25 x j
n
其中的 li ( x), i = 0,1,2,, n 是 n 次拉格朗日插值基函数。
附：主要程序代码 % f=inline('1./(1+25*x.^2)'); f=inline('atan(x)'); % a=-1;b=1; a=-5;b=5; x=a:0.01:b; fx=f(x); plot(x,fx); hold on; for Nd=2:10 x0=linspace(a,b,Nd+1); y0=feval(f,x0); y=Lagrange(x0,y0,x); plot(x,y); hold on; end
上图中对于 0 点处的拟合， 偶数个节点时 （Nd=3 时） 要比附近奇数节点 （Nd=2、 Nd=4） 时要好一些。
但是不管怎么样，当 0 点拟合的好一点的时候，两端的误差就会变大。 3. g ( x) = arctan x 时，在不同分段插值的插值函数如下：
取前几部分的曲线
仍然可以得出对于 g（x）是奇函数，上图中对于 0 点处的拟合，偶数个节点时（Nd=3 时）要比附近奇数节点（Nd=2、Nd=4）时要好一些。但是总的来说，当 0 点拟合的好一点 的时候，两端的误差就会变大，节点数越多，仍然零点处拟合的会更好，两端误差会更大。
实验要求：
（1） 选择不断增大的分点数目 n=2,3….，画出原函数 f(x)及插值多项式函 数 Ln ( x) 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。 （2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 x h( x ) = , g ( x) = arctan x 1+ x4 重复上述的实验看其结果如何。
实验记录
1． 根据实验要求编写的代码如下：
其中拉格朗日插值函数代码如下
采用 for 循环画图，画出不同插值点下的插值图像如下：
在不同的插值节点（奇数，偶数）下的插值图像分别如下
由图中可以看出，在将区间分为偶数份时，则有奇数个节点，其中有一个点过 0 点，所以奇 数个节点时，插值函数和原函数 0 点的值重合，但无论插值函数是奇数个点还是偶数个点， 有个共同的特征： （1） 由于原函数是对称，所以插值函数也是对称的 （2） 节点数越多，在 0 点附近的拟合值越好 （3） 节点数越多，在区间两端的误差越大 2. 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
实验 2.1（多项式插值的振荡现象） 问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日
插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的 次数增加时， Ln ( x) 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格（Runge）给出一个例子 是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上函数 1 f ( x) = 1 + 25 x 2
function y=Lagrange(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j~=k) p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end end
h( x ) =
x , g ( x) = arctan x 1+ x4
将源代码的函数和区间改一下，如下图
h( x ) =
x 是奇函数，在不同插值节点下的插值函数如下图所示： 1 + x4
由上图可以知道， 在原函数为奇函数时无论插值节点是奇数个还是偶数个， 插值函数仍然过 原点，但有所不同的是：虽然同在奇数个节点和偶数个节点下，节点数越多，仍然零点处拟 合的会更好，两端误差会更大。但是取一部分来看，如下图：
实验结论
1. 插值节点的数目不一定是越多拟合得越好，很多时候会出现发散现象。因为从插值 余项上看，n 增大，其分母（n+1）!是增大，但是分子������������������������+1 (������������)也在不断增大，它们 谁的影响大是和节点选取直接相关的，不一定就谁大。 2. 对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同 3. 对于奇函数来说，偶数个点的插值在零点处的拟合要比奇数个节点的拟合要好