山西省2006年专升本招生考试试题（高等代数）
一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）
1.下列数集中按通常的加法和乘法构成数域的是（ ）
A.整数集Z
B.有理数集Q
C.{},a b Z +∈
D. {}3a a Q ∈
2.若多项式()f x 的次数5，()g x 的次数是2，则(()())f x g x ±的次数是（ ）
A.5
B.3
C.8
D.2
3.设()f x 、()g x 、()h x 是多项式，则下列命题不正确的是（ ）
.()()()A f x g x f x 若g(x),h(x),则h(x)
.0B ≠若f(x)h(x)=g(x)h(x)且h(x),则f(x)=g(x) .()()()C f x f x f x 若g(x)h(x),则g(x)或h(x)
..D f(x)g(x)若(f(x),g(x))存在,则与互素(f(x),g(x))(f(x),g(x))
4.设矩阵010002100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则行列式3A 的值是 A.6 B.-6 C.54 D.-54
5.任意齐次线性方程组0AX =一定
A. 有零解
B.有非零解
C. 有唯一解
D.无穷多解
6.设矩阵11111113A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则A 正定的充分必要条件是（ ） A.0a > B. 1a > C. 43
a > D. 2a > 7.矩阵1
122A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭的伴随矩阵是 22222121....11122121A B C D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8.下面矩阵中的初等矩阵是 101100010001.011.021.001.010001001100100A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 9.在3F 中，向量(1,3,1)β=-在基123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===下的坐标是
A.（1，3，-1）
B.（-2，4，-1）
C.（6，-4，-1）
D.（2，4，-1）
10.数域3
F 上全体33⨯对称矩阵构成的向量空间的维数是 9.9.6.
.32
A B C D 二、填空题（每小题2分，10小题，共20分） 1.多项式43
221x x x +--的有理根是（ ）
2.设A ，B 都是33⨯矩阵，那么（A+B ）（A-B ）=（ ）
3. 111
222()333
a b c a b c a b c ++++++=+++
4. 已知()12,1,2,33A B ⎛⎫
⎪== ⎪
⎪⎝⎭
，则AB=（ ）
5.矩阵121011211753A -⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
的秩是（ ）
6. 如果12(1,1,3),(2,2,)x αα=-=-线性相关，那么()x =
7. 在向量空间2F 中，由基12(1,1),(1,0)αα==到基12(0,1),(1,1)ββ==的过渡矩阵是（
） 8. 在欧几里得空间3R 中，(2,0,3)α=的长度是()α=
9.若次数小于3的多项式()f x 满足(1)1,(1)3,(2)3f f f =-==，则()f x =（ ）
10.当b=( )时，有理系数多项式3x b +有重因式。

三、计算题（共6小题，每小题8分，共48分）
1.计算n 阶行列式011
1011110
n D =
2.解线性方程组12341234123421
21
255
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩ 3.解矩阵方程
1021001201X ⎛⎫⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
-⎝⎭ ⎪⎝⎭
4.求矩阵301
010101A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
的特征值和属于每个特征值的全部特征向量. 5.求实二次型222
123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形式.
6.求多项式32()326f x x x x =--+和32()22g x x x x =+--的最大公因式((),())f x g x
四、证明是（共2小题，每小题6分，共12分）
1.设向量,,αβγ线性无关，证明,,αββγγα+++线性无关.
2.设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射，若σ满足 ((),())(,),,V σξσηξηξη=∀∈，
则σ是V 的一个线性变换，其中(,)表示内积.。