高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．下列函数中，当1→x 时，及无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）A ．)3ln(x -B ．x x x +-232C ．)1cos(-xD ．12-x 2．曲线在),1(+∞内是（ ）A ．处处单调减小B ．处处单调增加C ．具有最大值D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f x ，则)(0x f '为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．21 4．若，则⎰1)(dx x f 为（ ）A ．21 B ．2ln 1- C ．1 D ．2ln 5．设等于（ ）A ．z zxyB ．1-z xyC ．1-z yD ．z y二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在 题中横线上。

6．设2yx e z xy +=，则= ．7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ． 8．，则 ．9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则 ．10．= ．11．函数的极小值点为 ． 12．若，则=a ．13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ．14．函数在处的导数值为 ． 15． ．三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0001arctan )(x x xx f 的间断点． 17．（本题满分6分）计算．18．（本题满分6分）计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→x x x x 1)1(arcsin ln lim ．19．（本题满分6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01)1ln(0 )(1x x x xe x f x ，求)(x f '． 20．（本题满分6分）求函数)sin(y x y +=的二阶导数． 21．（本题满分6分）求曲线342)(x x x f -=的极值点． 22．（本题满分6分）计算．23．（本题满分6分）若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(． 24．（本题满分6分）已知，求常数k 的值． 25．（本题满分6分）求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值． 26．（本题满分10分）求，其中D 是由曲线2x y =及2y x =所围成的平面区域． 27．（本题满分10分）设⎰-=adx x f x x f 02)()(，且常数1-≠a ，求证：．28．（本题满分10分）求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题6．122+e 7． 8．11-x 9．π3 10．21-e 11．0=x 12．5 13． 14． 15．0 三、解答题16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．21arctan lim )(lim 00π-==-→-→x x f x x21arctan lim )(lim 00π==+→+→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→≠故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．17．解 原式=222112111lim121lim 222==--+=--++∞→+∞→xx x x x x x x ．18．解 设xx x x f 1)1(arcsin )(++=． 由于0=x 是初等函数)(lnx f 的可去间断点，故 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 100)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→→xx x x x 100)1(lim arcsin lim ln1ln )0ln(==+=e e ．19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)11(1)()(12111x e xxeexex f x xxx+=⋅+='='----当01<<-x 时，[]11)1ln()(+='+='x x x f ． 然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即0)11(lim )0(1=+='-+→+xe f xx 从而)0()0(+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+='-0 110 )11()(1x x x x e x f x 20．解 )sin(y x y +=)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-='' []2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-)cos(1)1)(sin(2y x y y x y +-'++-='' ②又由①解得代入②得2)cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++='21．解 先出求)(x f 的一阶导数：)23(464)(223-=-='x x x x x f 令0)(='x f 即 解得驻点为．再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2-=-=''x x x x x f ． 当时，，故是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞内，0)(<'x f ，在内0)(<'x f故 01=x 不是极值点．总之 曲线242)(x x x f -=只有极小值点．22．解 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x xx x x x x x x x x x x∴ ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+dx x xxdx dx x x x dx x x 1)1(12223⎰++-=++-=C x x x x d x )1ln(21211)1(21212222 23．解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f 故⎰⎰+=⋅dx x x dx x f x )1(ln )( ⎰⎰+=xdx xdx x ln[]22221)(ln ln 21x x d x x x +-⋅=⎰22221121ln 21x dx x x x x ⎰+-⋅=222121ln 21x xdx x x ⎰+-=． 24．解 ⎰⎰⎰+⋅=+=+-∞→∞-∞-02020211lim 111a a dx xk dx x k dx x k2)arctan (lim arctan lim 0π⋅=-⋅=⋅=-∞→-∞→k a k x k a a a又故 解得． 25．解123,622-=∂∂+-=∂∂y yf x x f 解方程组得驻点)2,3(),2,3(00-B A 又 y f C f B f A yy xy xx 6,0,2=''==''=-=''=对于驻点126,0,2:230-===-===y x y C B A A ，故0242>=-AC B∴ 驻点0A 不是极值点．对于驻点126,0,2:230-===-=-==y x y C B A B故 0242<-=-AC B ，又02<-=A ．∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3=+++--=-f26．解 由2x y =及2y x =得两曲线的交点为)0,0(O 及)1,1(A )0(2≥=y y x 的反函数为xy =．∴ dx y y x dy y x dx dxdy y x x xxx D2102222102)21()()(⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+14033)1034172()21()21(105227104425=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰x x x dx x x x x 27．证 ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=aa a dx dx x f x dx x f 0020)()( dx dx x f dx x aaa⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0002)( ⎰⎰⋅-=aa adx dx x f x 0003)(31∴ 3)()(30a dx x f a dx x f a a=+⎰⎰于是．28．解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：，令0='y 得驻点e x =．（3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当e x <<0时，，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少． 由极值的第一充分条件可知为极大值． （4）求y ''并确定y ''的符号： ，令0=''y 得23e x =．当230e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的； 当23e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的． 根据拐点的充分条件可知点为拐点．这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。

另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x),0(ee),(23e e23e),(23+∞ey '＋ 0 － － － y ''－＋就表上所给的y '和y ''符号，可得到： 函数的单调增加区间为),0(e ； 函数的单调减少区间为),(+∞e ； 函数的极大值为； 函数的凸区间为),0(23e ； 函数的凹区间为),(23+∞e ；函数的拐点为． （5）因为， 所以曲线有 水平渐近线0=y 铅垂渐近线0=x（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．。