2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）设函数()y f x =在(),-∞+∞内连续，其导数如图所示，则（ ）
（A ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点
（B ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点
（C ）函数有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点
（D ） 函数有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点
（2）已知函数(,)x
e f x y x y
=-，则 （A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f +=
（3）设(i ,,)i i D T ==⎰⎰123，其中{}(,),D x y x y =≤≤≤≤10101，
{{}
(,),,(,),D x y x y D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤223010011，则
（A ）T T T <<123 （B ）T T T <<312
（C ）T T T <<231
（D ）T T T <<213
（4）
级数为sin()n n k ∞=+∑1，（k 为常数） （A ）绝对收敛
（B ）条件收敛 （C ）发散
（D ）收敛性与k 有关
（5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）
（A ）T A 与T B 相似
（B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似
（D ）1A A -+与1B B -+相似
（6）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别
为1,2，则（ ）
（A ）1a >
（B ）2a <- （C ）21a -<<
（D ）1a =或2a =-
（7）设,A B 为随机事件，0()1,0()1,P A P B <<<<若()1P A B =则下面正确的是（ ）
（A ）()1P B A = （B ）()0P A B =
（C ）()1P A B +=
（D ）()1P B A =
（8）设随机变量,X Y 独立，且(1,2),(1,4)X
N Y ，则()D XY 为
（A ）6
（B ）8 （C ）14
（D ）15
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.
(9)已知函数()f x 满足x →=02，则lim ()____x f x →=0
(10)极限lim
sin sin sin ____x n n n n n n →⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
201122．
(11)设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =有方程()(,)x z y x f x z y +-=-22
1确定，则(),____dz
=01．
（12）设(){},|1,11D x y x y x =
≤≤-≤≤，则22y D x e dxdy -⎰⎰=_______________.
（13）行列式10
00100014
321
λλλ
λ--=-+____________.
（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 （本题满分10分）求极限()4
1
0lim cos 22sin x x x x x →+
16、（本题满分10分）
设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数()Q Q p =，
需求弹性
(0)120p
p ηη=>-，p 为单价（万元）
(1)求需求函数的表达式
(2)求100p =万元时的边际收益，并说明其经济意义。
（17）（本题满分10分）
设函数()(),01022>-=
⎰x dt x t x f 求()x f '，并求()x f 的最小值。
（18）（本题满分10分）设函数()x f 连续，且满足
()()()100-+-=--⎰⎰x x x e dt t f t x dt t x f ，
求()x f
（19）（本题满分10分）求 幂级数()()22
0121n n x n n +∞
=++∑的收敛域和和函数。
（20）（本题满分11分）设矩阵111010,111122a A a a a a β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭
，
且方程组Ax β=无解，
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求方程组T T
A Ax A β=的通解
（21）（本题满分11分）
已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）求99A ；
（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=，满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域(){2,01,D x y x x y =<<<<上服从均匀分布，令 1,0,X Y U X Y ≤⎧=⎨>⎩
（I ）写出(,)X Y 的概率密度；
（II ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由； （III ）求Z U X =+的分布函数()F z .
（23）设总体X 的概率密度为()⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ，其中()∞+∈，
0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,max X X X T =。
（1）求T 的概率密度
（2）当a 为何值时，aT 的数学期望为θ。