2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2TE αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是（）A.()()P B A P B A > B ()()P B A P B A < C. ()()P P B A B A > D. ()()P P B A B A <（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑则下列结论中不正确的是：(A) 2()i X μ∑-服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ- 服从2χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9） 已知函数21()1f x x =+ ,则(3)(0)f =__________（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________（11）若曲线积分22dy1Lxdx ay x y -+-⎰在区域(){}22D ,1x y xy =+<内与路径无关，则a =（12）幂级数()1111n n n nx ∞--=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x =（13）设矩阵101112011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为（14）设随机变量X 的分布函数为()()40.50.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX=三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(),xy f e cosx =,求0dyd x x=，22d d x y x =（16）（本题满分10分） 求21limln 1nn kk k k nn →=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（17）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 得极值（18）（本题满分10分）()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→>< 证（1） 方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根（2） 方程[]2()()()0f x f x f x '''++= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （19）（本题满分10分） 设薄片型物体S 是圆锥面Z =被柱面22Z x = 割下的有限部分，其上任一点弧度为(,,)u x y z =C （1）求C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M （20）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（21）（本题满分11分）设132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求 a 的值及一个正交矩阵 Q .（22）（本题满分11分）设随机变量XY 互独立，且的概率分布为{}{}1P 0P 22X X ====，Y 概率密度为()2,010,y y f y <<⎧=⎨⎩其他(1)求{}P Y EY ≤ (2)求Z X Y =+的概率密度（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n x x x L 相互独立，且均服从正态分布()2,Nμσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(),1,2,,i i z x i n μ=-=L ，利用12,,,n z z z L 估计σ (I)求1z 的概率密度(II)利用一阶矩求σ的矩估计量 (III)求σ的最大似然估计量2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ） (A)()sin f x x x = (B) ()f x x = (C)()cos f x x =(D)()f x =（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ） (A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2 (C) 1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2 （3）()()023121!nn n n ∞=+-=+∑（ ）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+ (C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+ （4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（ ） (A)M N K >>(B)M K N >> (C)K M N >> (D)K N M >>（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）(A) 111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D) 101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ） (A) ()(),r A AB r A =(B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B = (D) ()(),T T r A B r A B = （7）设随机变量X的概率密度()()()(){}2011,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（ ）(A) 0.2 (B)0.3(C)0.4 (D)0.5（8）设总体()212,,,,,n X N X X X X μσL 服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（ ）(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝 (B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受 (C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝 (D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e k x →-⎛⎫== ⎪+⎝⎭若则__________.（10）()()()()20,021,2x f x y f x y ==设函数具有阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处()1xf x dx ''=⎰相切，则__________.（11）()(,,),1,1,0F x y z xyi yz j zxk rotF =-+=r r r设则 .（12）22210LL x y z x y z xyds ++=++==⎰Ñ设为球面与平面的交线，则 .（13）()2121212,=A A A ααααα++设阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足A =则 .（14）=A B A C BC ∅设随机事件与相互独立，与相互独立，，若()()()11,,24P A P B P AC AB C ====U()P C =则 .三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）2arctan .x e ⎰求不定积分（16）（本题满分10分）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（17）（本题满分10分）()33=2.x I xdydz y dzdx z dxdy ∑∑=+++⎰⎰设是曲面（18）（本题满分10分）(),().y y f x f x R '+=已知微分方程其中是上的连续函数（I ）(),f x x =若求方程的通解；（II ）()f x T T 若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解. （19）（本题满分10分）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求（20）（本题满分11分）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数(I) 123(,,)0f x x x =求的解； (II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（21）（本题满分11分）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）{}{}111,2X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分.Z XY =令(I) (),;Cov X Z 求 (II) .Z 求的概率分布 （23）（本题满分11分）121(,),,2(0,),,,.xn X f x e x X X X X σσσσ-=-∞<<+∞∈+∞L 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量(I) ˆσ求；(II) ˆˆ().E D σσ求和2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题。