平行线与相交线考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是______10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？12考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行． 2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”． 3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． （3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b ，则∠A CB ＝________解：78○点拨：过点 C 作CD 平行于a ，因为a ∥b ，所以CD ∥b ．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB ＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分） 如图1―2―5，AB ∥CD ，直线EF 分别交A B 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠B EF ，交CD 于点G ，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB ∥CD ，得∠ BEF ＝180○－∠1=130○， ∠ BEG=∠2． 又因为EG 平分∠BEF ，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：1．如图1－2－6，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法中正确的个数是（ ）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交； （3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； （4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。
A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如果两个角的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么这两个角只能（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．相等且互补 4．如图l －2－7。
AB ∥CD ，若∠ABE=130○，∠CDE=152○，则∠BED=________5．对于同一平面内的三条直线a, b, c ，总结出下列五个论断：①a ∥b ，②b ∥c ，③a ⊥b ，④a ∥c ，⑤a ⊥c ；以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：________________.6．如图 l －2－8，AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．2个7．两条平行线被第三条直线所截，设一对同旁内角的平分线的夹角为山则下列结论正确的是（ ） A 、a ＞90○. B 。
a ＜90○.C 、a =90○.D ．以上均错8．一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少30○.，则这两个角的大小分别是_____________9．如图 1－2－9，AB ∥CD ∥PN ，若∠ABC ＝50°，∠CPN ＝150○，求∠BCP 的度数．10．如图1－2－10，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角为∠B=150○，则第二次拐的角∠C 为多少度？为什么？11．如图1－2－11 所示，若以DC、AB为两条直线，这两条直线被第三条直线所截，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来．12．如图1－2－12所示，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得的4个关系中任意选取一个加以证明．13．如图1－2－13，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．（1）请写出图1－2－13 中面积相等的各对三角形；_____________________________________.（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P 点移动到任何位置，总有______与ΔABC的面积相等．理由是______________.考点3：平行线的判定一、考点讲解：1．平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线．2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．3．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．4．常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．二、经典考题剖析：【考题3－1】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30○，第二次向右拐30○B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○解：A 点拨：本题创设了一个真实的问题。
要使经过两次拐弯后．汽车行驶的方向与原来的方向相同．就得保证原来，现在的行驶方向是两条平行线且方向一致．本题旨在考查平行线的判定与空间观念。
解题时可根据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再判定其是否相同，应选A．【考题3－2】如图l－2－14，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F 为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC．三、针对性训练：l．已知：如图l－2－15，下列条件中，不能判定是直线l1∥l2的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180○2．如图l－2－16，直线AD与AB、C D相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．343．一个人从A 点出发向北偏东60°方向走了4米到B 点，再从B 点向南偏西15°方向走了3米到C 点，那么∠ABC 等于（ ） A ．75○B ．45○C ．105○D ．135○4．如图l －2－17，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若∠EFG=54○，试求∠DEG 和∠BGD ′的大小．5．如图1－2－18，∠B=52○，∠DCG=128○，∠FGK=54°，问直线AB 与EK 及BD 与FH 的关系如何？请证明之．6．已知：如图l －2－19，CD ⊥AB 于D ，E 是BC 上一点，EF⊥AB 于F ．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB ．7．如图l －2－20，直线AB 、CD 是二条河的两岸，并且AB ∥CD ．点E 为直线AB 、CD 外一点．现想过点E 作岸CD 的平行线．只需过点E 作岸AB 的平行线即可．其理由是什么？8．如图l －2－21，要判定AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ∥ CF ，各需要哪些条件？根据是什么？★★★(II)自我检测★★★【回顾1】（如图1－2－22，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，如果∠1=50○，那么∠2=____．【回顾2】（在图l －2－23的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．4条 D ．8条【回顾3】如图1－2－24，已知 AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠l ＝70°，则∠2的度数是_________【回顾4】“如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中．有一个角的度数已知，则（ ）” A ．只能求出其余三个角的度数 B ．只能求出其余五个角的度数 C ．只能求出其余六个角的度数 D ．可以求出其余七个角的度数【回顾5】如图1－2－25，两条直线a 、b 被第三条直线c 所截，如果a ∥b ，∠1=70○，那么∠2=________．【回顾6】如图1－2－26，已知AB ⊥CD ，直线EF 分别交AB 、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠l=50○，则∠2的度数为（）A．50○B．60○C．65○D．70○【回顾7】如图l－2－27，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）A．120○B．130○C．140○D．150○★★★(III)课外作业★★★(一)选择题【备考1】已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍多36o，则这两个角的度数是（）A．20○和96○。