定积分的简单应用【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用① 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。

应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。

2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。

【典型例题】类型一、求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

【解析】 201y x x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1）， 面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以13112320021211d d 33333S x x x x x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。

举一反三：【变式】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

【答案】所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（例2．求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积. 【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。

【解析】解法一：解方程组2,230,y x x y ⎧=⎨--=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩或93x y =⎧⎨=⎩即交点(1,1),(9,3)A B -.由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。

过A 点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.1912011[()][(3)]2S S S x x dx x x dx =+=--+--⎰⎰ ＝199911113222xdx xdx xdx dx +-+⎰⎰⎰⎰＝33219992201114233342x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝323. 【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。

解法二：若选y 为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：321[(23)]S y y dy -=+-⎰＝2233311132333y yy---+-=. 【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是x ，有时根据平面图形的特点，也可选y 作为积分变量，以简化计算。

但要注意积分上限、下限的确定. 举一反三：【变式1】计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.作出直线4y x =-，曲线【答案】2y x =的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 28044[(4)]x dx=+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|23x x x=-=.【变式2】求抛物线22y x=与直线4y x=-围成的平面图形的面积.【答案】由方程组⎩⎨⎧-==xyxy422解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, －4）解法一:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y=y=1122200(AS dx x dx==⎰3163222223=⋅=x282[4(AS x dx=--⎰328)322214(82232=+-=xxx于是：16381833S=+=.解法二:选y作积分变量，将曲线方程写为22yx=及yx-=4dyyyS]2)4[(224--=⎰-2432)624(---=yyy301218=-=.类型二、求变速直线运动的路程例3．汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度2a=米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？【思路点拨】因为距离＝速度⨯时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.【解析】因为距离＝速度⨯时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当0t=时，汽车速度36v=公里/小时＝3610003600⨯米/秒=10米/秒.刹车后汽车减速行驶，其速度为()102V t V at t=-=-.当汽车停车时，速度()0V t=，故从()10V t =到()0V t =用的时间10052t -==秒. 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是55()(102)S V t dt t dt ==-⎰⎰＝2501(102)|252t t -⨯=（米）即在刹车后，汽车需走过25.【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式. 举一反三：【变式】 一点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度v=t 2―4t+3（m ／s ）运动，求：（1）在t=4 s 时的位置； （2）在t=4 s 时运动的路程。

【答案】（1）在时刻t=4时该点的位置为：44232014(43)d 2333t t t t t t ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰（m ）。

即在t=4s 时该点距出发点43m 。

（2）因为v (t)=t 2―4t+3=(t ―1)(t ―3)，所以区间[0，1]及[3，4]上的v （t ）≥0，在区间[1，3]上，v （t ）≤0，所以在t=4 s 时的路程为：134222013(43)d (43)d (43)d s t t t t t t t t t =-++-++-+⎰⎰⎰134222013(43)d (43)d (43)d 4(m)t t t t t t t t t =-+--++-+=⎰⎰⎰。

即在t=4 s 运动的路程为4 m 。

类型三、求变力做功例4．直径为20cm ，高为80cn 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？【解析】设上端为活塞，且如图所示取定x 轴.另设底面面积为S ，活塞压缩至x 位置时气体的体积为()V x ，压强为()P x ，由于PV k =（其中k 为常数），则 ()()()k k P x V x S h x ==-，()kF P x S h x==-，其中(0)(0)80000()800()k P V N cm J ππ==⋅= 故所求的功为2201800ln 2().h h W Fdx k dx J h xπ===-⎰⎰【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。

举一反三： 【变式】求证： 把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmhk k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mmk x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()hW f x =⎰d x =20()hMm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰dx = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm G k h k k k h -+=⋅++． 类型四、定积分的综合应用 例5．已知抛物线2y px qx =+（其中0,0p q <>）在第一象限内与直线5x y +=相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.问p 和q 为何值时，S 达到最大值？求出此最大值.【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出S 。