定积分的简单应用导
学案
定积分的简单应用导学案
学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15
编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名：
【导案】
【学习目标】
1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。

2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。

3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。

【学习重难点】
重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

难点：将实际问题化归为定积分的问题。

【学案】
1．计算平面图形面积的一般步骤
在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助
________________直观确定出____________________以及积分的____________。

2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.
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3．变力作功
（1）恒力F的作功公式
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。

（2）变力F(x)的作功公式
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。

4．例题分析
【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。

【例2】计算由直线y=x-4，曲线
以及x轴所围图形的面积S.
【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。

求汽车在这1min行驶的路程。

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【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所做的功。

5．达标检测
教材P58 练习 P95 练习 P60 习题A组 B组
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定积分的简单应用练案（一）
学科：数学编写人：邓朝华审核人：陈平编写时间：2013.3.15
班级：姓名：评分：
1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。

2. 求曲线y=e x, y=e-x及x=1所围成的图形面积。

3. A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C 点，这一段加速度为1.2m/s2，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经过t s后，速度为(24-1.2t)m/s。

在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间.
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4. 由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力量与弹簧的伸长量成正比，现已知1N 的力能使一个弹簧伸长0.01m，求把弹簧拉长0.1m所作的功。

5. 在抛物线y=-x2+1(x≥0)上找一点P(x1, y1)，其中x1≠0，过点P作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小。

6. 求由y=x3, x=-2, x=2, y=0围成的图形的面积。

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 7. 求由曲线y=x , y=2-x, y=-31
x 围成图形的面积。

8. 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t 2-4t+3(m/s)运动，求：
（1）在t=4s 的位置；
（2）在t=4s 运动的路程。

9. 将一弹簧压缩x cm所用的力在4xN，求将它从自然长度压缩5cm所作的功。

10. 求由曲线y=x2与直线x+y=2围成的图形的面积。

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定积分的简单应用练案（二）
学科：数学 编写人：邓朝华 审核人：陈 平 编写时间：2013.3.15
班级： 姓名： 评分：
1. 如图，阴影部分的面积为
（ ） A. ()b
a f x dx ⎰ B. ()b
a g x dx ⎰
C. [()()]b
a f x g x dx -⎰
D. [()()]b
a g x f x dx -⎰
2. 抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形面积为 （ ）
A. 81
B. 1
C. 61
D. 2
1 3. 抛物线y=-x 2+4x-3及其在点A(1, 0)和点B(3, 0)处的切线所围成图形的面积为___________。

4. 如果某质点的初速度v(0)=1，其加速度a(t)=6t ，做直线运动，则质点在t=2 s 时的瞬时速度为
（ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 13 5. 物体在力F(x)=⎩⎨⎧+4310x )
2()20(>≤≤x x ，（单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m ）处，则力F(x)作的功为
（ ）
A. 44
B. 46
C. 48
D. 50 6. 一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)=27-0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车
（ ）
A. 405
B. 540
C. 810
D. 945
7. 求曲线y=x2与直线y=x, y=2x所围成的图形的面积。

8. 已知抛物线y=x 2-2x 及直线x=0, x=a, y=0围成的平面图形的面积为
3
4，求a 的值。

9. 求曲线y=
x 1，直线y=x, x=2, 与y=0所围成图形的面积。

10. 求曲线y=sinx, y=cosx 与直线x=-4π, x=4π所围成图形的面积。

11. 模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)=100-4t 2，求火箭5s 内的位移。

12. 一物体按规律x=bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a 时，阻力做的功。

13. 有一直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，
AB 与抛物线所围图形的面积恒等于34
，求线段AB 的中点P 的轨迹方程。