《保险精算》教学大纲金融管理学院金融保险专业2004年09月编写说明一、课程概况1、课程名称（中文）：保险精算2、课程名称（英文）：Actuarial Mathematics3、预修课程：《线性代数》、《微积分》、《概率论与数理统计》4、修读对象：本科生5、课程教材：《寿险精算数学》卢仿先曾庆五编著南开大学出版二、课程性质、地位和任务保险，作为商品社会中处理风险的一种有效方法，已被全世界所普遍采纳。

在现代保险业蓬勃发展的进程中，科学的理论和方法，特别是精确的定量计算，起着十分重要的作用。

保险业运营中的一些重要环节，如新险种的设计、保险费率和责任准备金的计算、分保额的确定、养老金等社会保障计划的制定等，都需要由精算师依精算学原理来分析和处理。

精算学是通过对未来不确定性事件的分析，研究不确定性对未来可能造成的财务影响的学科。

这门学科是以概率论和数理统计为基础，依据金融学和计算机技术等，对这些不确定性进行数量分析与预测，从而为实际的操作提供科学的依据。

但现在，精算学的范围不仅仅局限于保险领域内，精算学与金融学的交叉渗透是精算学发展的另一个特点。

一些精算理论通常被用于解决金融学中的一些问题，如债券的违约、贷款人的提前还款等。

所以，本课程的教学宗旨是让学生了解并掌握分析处理现实经济问题中的不确定性原理、方法。

三、教学内容、教学目标和要求研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题计算方法的应用数学。

本课程以寿险精算为主，详细讨论寿险精算的基本原理和基本技术，对非寿险精算中的基本概念和主要问题进行概括性的介绍。

四、教学模式本课程以保险精算学的一般原理为基础，借鉴国内外科研成果，注重理论分析能力的提高和实际运用能力的培养。

五、教学进度本课程教学，共36课时，其中课堂教学36课时，讲座00课时，上机（实验）00课时。

课时具体安排如下：第一章利息理论【教学目的与要求（Session Objectives）】了解有关利息的基本知识：单利、复利、名义利率、实际利率、贴现率掌握单利、复利及其终值、现值的计算方法掌握贴现因子、贴现率及利率的区别与联系掌握期初期末付确定型年金现值与终值计算了解付款频率和计息频率不同情形下的各种确定型年金的计算【教学重点（Key Points）】本章的重点是各种利率之间的相互转换以及现值和终值的计算。

【课时安排（Teaching Hours）】课堂讲授：4课时【教学内容（Session Outline）】第一节利息理论一、影响利息的因素（1）本金积累函数a(t)：a(0)=1,a(t)递增金额函数A(t)：A(t)=Ca(t)（2）时期利息额I(t)：I(t)＝A(t)-A(t-1)（3）通货膨胀（4）风险二、支付利息的方式（1）期末支付利息率（利率）i(t)：i(t)=(a(t)-a(t-1))/a(t-1)（2）期初支付贴现率d(t)：d(t)=(a(t)-a(t-1))/a(t)=i(t)/(1+i(t))三、计算利息的方法（1）单利法A(n)=A(0)[1+i(1) +i(2) +……+i(n-1) +i(n)]（2）复利法A(n)=A(0)[1+i(1)][1+i(2)]……[1+i(n-1)][1+i(n)]（3）单利和复利的比较短时期，单利积累值较大，长期则相反常数单利的有效利率不是常数，而常数复利的有效利率是常数 单位有效利率相同时，单利在同样长的时间段内增长的绝对金额相同，复利在同样长的时间段内增长的比率相同四、有效利率&名义利率i h (t)=(a(t+h)-a(t))/a(t)h 1+i=(1+i (m)/m)m i (m)是m 的减函数 五、贴现率和利息率1/(1-d)=1+i ，d=i/(1+i)1-d=(1-d (m)/m)m , d (m)是m 的增函数 六、利息力)(lim 0)(t i h t h +→=δ,⎰=tds s e t a 0)()(δ七、积累因子和贴现因子积累因子⎰=tds s e t a 0)()(δ 贴现因子⎰-=t ds s e t v 0)()(δ八、常数利息力t e t a ⨯=δ)(，h e t i h h /)1()(-=⨯δ，t e t v ⨯-=δ)(，)1/(1)1(i v v +==九、现金流的现值和终值的计算 资本投入连续资本投入离散【思考题（Questions ）】1. 设a(t)=at 2+b ，且a(5)=126，求A(0)=100时的A(10)。

2. 设a(t)=1/(1-0.05t)，求i(4)。

3. 设a 1(t)=1+0.8t ，a 2(t)=1.05t ，试比较这两个积累函数的大小。

4.设用1000元的本金进行10年的投资，前3年各年的利率为3%，中间5年的年利率为5%，最后2年的利率为2%，分别在单利法和复利法下求10年后的资本总额及利息总额。

5. 假设名义利率为5%，求年有效利率（实际利率）及1000元本金在1年后的复利积累值，设利息：（1）一天转换一次；（2）一个月转换一次；（3）一个季度转换一次；（4）一年转换一次。

（一年按365天计算）6. 假设利息力函数如下所示，求贴现因子v(t)的表达式以及第6年末的1000元在第一年初时的值。

⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=1007.010508.05009.0)(t t t t δ 7. 假设i=0.08，求i (12)、d (4)、δ、d 和v 的值。

8. 若已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=1007.010508.05009.0)(t t t t δ，求从时刻0开始的资本投入率为1的连续支付15年的现金流量在时刻0时的现值。

9. 假如某公司在1996年1月1日投资1000万元，在1997年1月1日投资2500万元，在1997年7月1日投资3000万元，年利息力为0.06。

求这些投资在1995年3月1日和2000年7月1日的价值分别为多少。

10. 已知a(t)=at 2+b ，若A(0)=100，则A(3)=370。

求A(5)=100时的A(10)。

11. 已知A(t)=90+3t ，求i(3)、i(5)、d(3)、d(5)。

12. 已知A(t)=90×1.2t ，求i(3)、i(5)、d(3)、d(5)。

13. 某人将1500元存入银行，年有效利率为3%，求该存款分别在单利和复利下于（1）10年后；（2）1年后；（3）3个月后的积累值。

14. 已知δ＝0.08，求i 、d 、v 的值。

15. 已知i ＝0.08，求d 、v 、δ的值。

16. 已知d ＝0.08，求i 、v 、δ的值。

17. 已知v ＝0.95，求i 、d 、δ的值。

18. 若投资A 以4%的名义利率进行投资，利息每半年转换一次，投资B 以4%的名义贴现率进行投资，利息每季度转换一次，若投资A 和B 都在年初投资了1000元，问一年以后这两种投资结果之间的差异。

19. 若年有效利率为0.04，求i (2)、i (12)、d (2)、d (12)、d 。

20. 已知d (24)＝0.04，求i 。

21. 若a(t)=1/(1-0.08t)，求δ(1)。

22. 若A(t)=Kt 2+Lt+M ，A(0)=100，A(1)=110，A(2)=136，求t=0.5时的利息力δ(0.5)。

23. 若δ(t)=0.12t/(1+0.06t 2)，求a(2)。

24.25. 若已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=1004.010506.05008.0)(t t t t δ，（1）求v(t)的表达式；（2）某投资者在上述利息力下进行如下投资：他于每年年初存入某帐户600元，共存15年，作为回报，他可在最后一次存款支付后的一年后去除所有的积累值，也可分8年于每年年初领取均衡年金，第一次年金发生在最后一次存款的一年后。

分别求这两种情况下的积累值和年金额。

第二章 确定年金【教学目的与要求（Session Objectives ）】掌握在期初支付和期末支付这两种方式下每期支付一次和多次、或者在大于一个单位时间的时间间隔内支付一次年金这三种不同情形下的年金的计算，了解变动年金的构成和计算方法。

【教学重点（Key Points ）】本章的重点是不同支付方式下支付的时间间隔与单位时间相等或不等情况下年金的计算。

【课时安排（Teaching Hours ）】课堂讲授：4课时【教学内容（Session Outline ）】第一节 每期支付一次的年金一、期末付定期即期年金n n n nk k n n nk kn i a i i i s i v i a )1(1)1()1(,1)1(1111+=-+=+=-=+=∑∑=-= 二、期初付定期即期年金nn n nk k n n nk k n i a d i i s d v i a )1(1)1()1(,1)1(1111+=-+=+=-=+=••=••=-••∑∑ da i a s s s s s i s s i s a a a i a n n n n n n n n n n n n 1,11,11)1(,)1(,1,)1(1111==-=+=++=+==++=∞••∞+••••++••+••••三、期末付定期延期年金m m n n m n m nk km m a a a v i v v i a n -==-=+=+=+∑)1()1(11nm m nk k m i a s i s n nn +=-+==+=∑)1()1(11i v a m m =∞四、期初付定期延期年金m m n n mn m nk k m m a a a v d v v i a n ••+••••=-+••-==-=+=∑)1()1(111nm m nk kmi a s i s n n n +••••=••+==+=∑)1()1(1dv a mm =∞•• 第二节 每期支付m 次的年金一、每期支付m 次，期末付即期年金nm m n nm k m k m na i i i v m v a)()(1/)(1=-==∑=nm m n nmk m k m ns i ii i m i s )()(1/)1()(1)1()1(=-+=+=∑=- )()(1m m i a =∞二、每期支付m 次，期初付即期年金nm m n nmk m k m na d d d v m v a ••=-••=-==∑)()(1/)1()(1nm m n nmk m k m ns d dd i m i s )()(1/)(1)1()1(=-+=+=∑=••)()(1m m i a =∞••第三节 标准递增年金一、标准递增年金nn n nk k n n n n n k kn i Ia i n s i k Is i nv a i k Ia )1()()1()(,)1()(111+=-=+=-=+=••=+-••=∑∑n n nk k n n n nn nk k n i a I d n s i k s I Ia i d nv a i k a I 1()()1()(,))(1()1()(1111+=-=+=+=-=+=••••=+-••••=-••∑∑二、标准递减年金nn nn nk k n nnk kn i Da is i n i k Ds ia n i k n Da )1()()1()1()(,)1(1)(111+=-+=+=-=++-=∑∑=-=nn n nn k kn n nk k n i a D d s i n i k s D d a n i k n a D )1()()1()1()(,)1(1)(111+=-+=+=-=++-=••=••=-••∑∑第五节 连续年金一、连续年金nn n n nntn i a i s v dt v a )1(1)1(,10+=-+=-==⎰δδ【思考题（Questions ）】1. 若3000元的债务分20年还清，每年偿还相同的金额，已知年有效利率为10%，分别求年末还债和年初还债的情况下的年还债额度。