影响重力的几种因素物理与电子信息学院物理学专业06级 李涛 指导老师：刘自祥摘 要: 讨论了地球自转及太阳、月球的引力对物体重力的影响。
物体的重力主要由地球的引力所致,其他因素对重力的影响非常小,一般不易被察觉,但不能忽略，当地球和月球、地球和太阳处在一条直线上时,物体的重力变化比较明显。
关键词: 重力; 自转; 纬度; 地质结构Discussion the factors of gravity affectionLi TaoGrade 2006 School of Physics and Electronic Information,China West Normal University, Nanchong Sichuan. 637002.Instructor: Liu ZixiangAbstract : Discussion the Earth's rotation with the sun, the moon's influence , other factors on the effect of gravity is very small, usually not so noticeable, but can not be ignored, when the earth and the moon, the Earth and the Sun in a straight line, the object of the gravity change obviously.Key words : gravity; rotation; latitude; the geological structure0 引 言地球上的物体受到地球的吸引力,因此每个物体都有各自的重力. 物体在地球表面某一位置时,地球对它的引力为:2GMm F R式中G 为万有引力常数, M 为地球质量, m 为物体质量, R 为地球半径.由于上式中各量在地球的某个特定点是定值,故F 在该点亦为定值. 但是, 由于地球自转及太阳、月球对物体的引力等因素,使物体的重力会因时、因地而异. 本文讨论地球自转及太阳、月球的引力对物体重力的影响.1 地球的自转及纬度对物体重力的影响为了突出地球自转引起物体重力变化这个主题, 设地球是个质量均匀分布的球体, 其质量为M ,平均半径为R , 地心在O 点, 绕地轴转动的角速度2T πω=, T 为地球自转周期。
若质量为m 的物体处在地球北半球纬度为Φ的A 位置, 如图1 所示。
它受到地球的万有引力F 和地球表面的支持力N 两个力的作用。
由牛顿万有引力定律得F 的大小为:图1 图22GMm F R = (1) 方向沿地球半径R 由A 指向地心O , 即与赤道面夹角为Φ。
另外考虑地球自效应, 物体也绕地轴上'O 以角速度X 作半径为cos R Φ 的匀速圆周运动,所需的向心力为f, 由向心力公式得f 的大小为:2cos f m R ω=Φ (2)方向由A 指向圆心'O , 即平均于赤道面。
若将引力F 分解为A 'O 方向上的向心力f 和另一等效力P, 其矢量关系为:F f P =+ (3) 其中等效力P 是支持力N 的平衡力, 即为物体的重力。
由(1)、(2)、(3) 式可知P 与ω 有关, 且随Φ变化, 即自转可引起物体重力随纬度变化.1. 1 重力大小与纬度角的关系单独画出引力F 的矢量分解图, 如图2 所示,在△ABC 中,AC= F 、BC= f 、AB= P, 由余弦定理求出:2222cos P F f Ff =+-Φ将(1)、(2) 式及参数M = 245.9810kg ⨯,11220 6.6710/G N m kg -=⨯∙, R=86.3710m ⨯,522 3.147.2710/243600rad s T πω-⨯===⨯⨯等带入上式并化简得: 9.83P =(4)对(4) 式求导数得:2dP d -=Φ 当0°≤Φ ≤90°时0dP d >Φ说明P (Φ) 是增函数,即重力大小随纬度增大而增大, 且当Φ= 0°时, 即物体在赤道上重力最小, 最小值为:2min 2(0)(0)(0)9.80GMm P P F f M R m Rω==-=-= 当Φ= 90°时, 即物体在北极时重力最大, 最大值为:(max)2(90)(90)9.83GMm P P F m R==== 说明物体重力只有在北极时才等于地球吸引力。
1. 2 重力的方向与纬度角的关系(1) θ与Φ 的关系重力方向可由P 与f 的夹角θ确定, θ角是纬度角5 的函数。
在图2 中, 四边形ABCD 为平行四边形, ∠BAD = θ, 则∠ABC = 180°- θ, 在△ABC 中,由正弦定理得:sin sin(180)P F θ=Φ- 将(1)、(4) 两式代入上式并化简得:θ= (5)对(5) 式求导并化简得: d d θ=Φ 当0°≤Φ≤90°时, 0d d θ>Φ; 说明()θΦ也是增函数; 当Φ = 0°时, 即物体在赤道处是H 最小, 最小值为: min 0θ=; 当Φ= 90°时, 即物体在北极时, θ最大,最大值为: (max)90θ=(2) α与Φ 关系重力的方向也可由P 与F 的夹角α来研究。
由图2 知, θ= Φ+ α。
由(5) 式得θ≈Φ, 所以α非常小,但其值也是随纬度角Φ而变化的。
在图2△ABC 中, 过点B 作AC 的垂线交AC 于E, 则在△ABE 中, 可求出:sin cos BE BE f tg AE AC CE F f αΦ===--Φ将(1)、(2) 两式代入上式并化简得:2sin 22cos arctgA αΦ=-Φ (6) (6) 式中332GM A R ω=,将G 、M 、ω、R 值代入A 中得到A = 584。
下面仍用求导数办法判定A 的极值及增减性。
先求α对Φ 的一阶导数并化简得:222(1)cos 224(1)cos d A d A A α-Φ-=Φ--Φ 令0d d α=Φ，求驻点011arccos 21A Φ=-。
将A=584代入上式, 考虑0°≤Φ ≤90°, 得驻点0Φ= 45°。
再求α对Φ 的二阶导数并化简得:2222224(1)sin 2(2)[4(1)cos ]d A A A d A A α-Φ-=Φ--Φ 将045Φ=、A = 584 代入上式得:23245 6.9110d d α-Φ==-⨯Φ故当Φ= 45°, α有极大值, 极大值为0max 02sin 2()0.09832cos arctgA αΦΦ==-Φ 说明当Φ = 0°或Φ = 90°, 即物体在赤道及两极时, α有极小值, 极小值αmin= 0°; 当0° 〈Φ〈90°时, A 随Φ的增加而增加; 当0°〈Φ〈45°时, α随Φ 的增加而减少; 当Φ = 45°时, A 值最大, 其最大值为max 0.0983Φ=2 作图分析由于图象具有形象、直观等优点, 可通过描点法来作出重力大小P 和方向θ及α随纬度Φ角度变化的图象。
由(4) 式画出P —Φ由图象如图3 所示, 由(5) 式作出θ—Φ 图象, 如图4 所示, 同样由(6) 式作出α—Φ 的图象, 如图5 所示。
由图3、4、5 可直观地看出重力大小和方向随纬度角5 变化规律。
图3 图4 图5 2. 1 太阳对地球上物体重力的影响我们知道,地球和太阳均绕它们的公共质量中心旋转, 简化模型如图2 所示. 图中B 为地球中心, A 为太阳中心, r 为地球半径, R 为地球中心到太阳中心的平均距离, O 为太阳与地球的公共质量中心. 为了计算方便,假设它们是纯二体运动,都绕O 点旋转, 并略去地球轨道平面与赤道平面的夹角. 在这种极简化的情形下,地球赤道上的物体随地球的自转到达C 处为中午, D 处为午夜, E 、K 点处近似为日出、日落时刻. 当物体在E 、K 点时,太阳对它的引力与地球对它的引力近似垂直( R m r) , 太阳对物体的重力影响甚微. 当物体在C 、D 点时, 物体受到的太阳和地球的引力在一条直线上, 此时太阳的引力势必要对物体 的重力产生影响.地球和太阳绕O 点旋转时, C 、D 与A 点(太阳) 的距离可看做不变,它们之间的相互作用力为绕O 旋转时的向心力. 设F 1 为地球受到太阳的引力, F 2 为反作用力,即太阳受到地球的引力,则| F 1| = | F 2| ,而20121()M M F G M R a R ω==-地太地 20222M M F G M a Rω==太地太 式中, 0G 为引力常数, M 太、M 地分别为太阳、地球的质量, a 为太阳绕O 点旋转时的矢径长. 根据角动量守恒定理, 21)M a M R a ωω=-太地（ ,所以12ωωω==. 代入上面两式得:022G M a Rω=地, (7) 023(G M M R ω+=太地） (8) 先分析物体在C 点时的情况. 物体在C 点受3个力的作用, 即地球的引力P 0 ,方向向右指向地心B ;太阳的引力F 太,方向向左指向太阳A ;地面的支持力PC ,它的反作用力等于物体在该处的重力. 这3个力的合力使物体绕O 点旋转(绕地轴的旋转运动前面已分析,不再重复),则合力20()c F P P m R r a ω+-=--太 ω是物体随地球一起绕O 点旋转的角速度. 所以20()c P P F m R r a ω=-+--太20022()mM mM G G m R r a r ω=-+--太地(R-r) (9)同理,设PD 为物体在D 点时受到的地面支持力,则有2()c DF P P m R r a ω+-=+-太 所以20()D P P F m R a r ω=+--+太 20022()()mM mM G G m R a r r R r ω=+--++太地 (10) 联立式（7）（8）（9）（10）, 消去ω, 并略去r/ R 的高次项,得:0023(3c D m M M r mM P P G G r R +==-太地地） 0003(3)m M M r P G P R +=-<太地 将11220 6.6710/G N m kg -=⨯∙,245.9810M kg =⨯地 301.9910M kg =⨯太 ,66.3710r m =⨯(平均半径) , 111.49610R m =⨯ (平均值) , 代入上式,得:707.57610C P P m N --=⨯所以,物体的重力在正午和午夜时最小,但这种变化一般不易察觉.2. 2 月球对地球上物体重力的影响若把图6 中的A 点改为月球的中心, O 点改为月球与地球的质量中心(O 点靠近地球) ,则C 点和D 点便是近月点和远月点. 设月球的质量为M 月,地球中心到月球中心的平均距离为R 1 , 同理可求得:''00231(3)C D m M M r mM P P G G r R +==-月地地 00031(3)m M M r P G P R +=-<月地 其中'C P 和'D P 分别为近月点和远月点的重力值. 由81 3.84410R m =⨯,227.3510M kg =⨯月得:0P - 'C P 127.28210N -=⨯3 . 地质结构对物体重力的影响假定地球质量全部集中在地心，则利用牛顿的万有引力定律，只需知道地表某一点到地心的距离，就可以求得该地的重力。