第八部分图形与证明知识点的把握新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：1.了解证明的含义.(1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.3.利用2中的基本事实证明下列命题.(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.命题方向经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.考试重点一、几何图形的性质定理、判定定理的应用本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.图8-1 图8-2分析：结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.证明：(1)如图8-2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD.∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=AB，CF=CD.∴AE=CF.∴△ADE≌△CBF.(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形.如图8-2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AG∥BD，∴四边形 AGBD是平行四边形.∵四边形 BEDF是菱形，∴DE=BE.∵AE=BE，∴AE=BE=DE.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°.∴∠2+∠3=90°.即∠ADB=90°.∴四边形AGBD是矩形.【例2】已知:在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.图8-3(1)写出图8-3中3对相似的三角形；(2)找出图8-3中相等的线段，并说出理由.解析：由图可以看出:△ACE∽△DBE，△AED∽△BEC，△ADE∽△CDA.同时还可以看到AD=BD.证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD.【例3】已知：在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明)；图8-4(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.分析：结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.解：(1)∵PM∥AB，QM∥AC∴四边形AQMP为平行四边形且∠1=∠C，∠2=∠B，又∵AB=AC=a.∴∠B=∠C，∴∠1=∠B=∠C=∠2.∴QB=QM，PM=PC.∴四边形AQMP的周长为：AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；(2)△ABC∽△QBM∽△PMC；(三对中写出任意两对即可)(3)如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：当M为BC中点时.图8-5∵PM∥AB.QM∥AC.∴PM=AB=.QM=AC=.∴PM=QM.由(1)知：四边形AQMP为平行四边形.∴四边形AQMP为菱形.二、与圆有关的综合证明本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学 方法.与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.【例4】如图8-6，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC 与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径.图8-6 图8-7分析：通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF.∴，∵HE=EC，∴BF=FD.(2)证明：方法一：如图8-7连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵F是BD中点，∴FC=BD=FB.∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线.方法二：可证明△OCF≌△OBF.(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC.可证得：FA=FG，且AB=BG.由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2. ①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2, ②由①②得：FG2-4FG-12=0,解之得：FG1=6，FG2=-2(舍去).∴AB=BG=.∴⊙O半径为2.【例5】已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.(1)如图8-8(1)，求证：AC是⊙O1的直径；(2)若AC=AD，如图8-8(2)，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧上任取一点E(点E与点B不重合). EB的延长线交优弧于点F，如图8-8(3)所示.连结 AE、AF.则AE________AB(请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明.(1) (2) (3)图8-8证明：(1)∵ CD⊥AB，∴∠ABC=90°∴ AC是⊙O1的直径 .(2)①证明1：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.∴AD是⊙O2的直径.∵AC=AD.∵CD⊥AB，∴CB=BD.∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.∴ O1O2∥CD且 O1O2=CD=CB.∴四边形O1C BO2是平行四边形.证明2：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.∴AD是⊙O2的直径.∵ AC=AD.∵ CD⊥AB，∴CB=BD.∵B、O2分别是CD、AD的中点.∴BO2∥AC且 BO2=AC=O1C，∴四边形O1C BO2是平行四边形.证明3：∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.∴AD是⊙O2的直径.∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.∴ O1O2∥CD.∵ CD⊥AB，∴ CB=BD.∴ B是CD的中点.∴O2B∥O1C.∴四边形O1C BO2是平行四边形.证明4：∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°.∴AD是⊙O2的直径.∵AC=AD.∴ O1C=O2B.∴∠C=∠D.∵ O2B=O2D，∴∠O2B D=∠D .∴∠C=∠O2B D.∴O2B∥O1C.∴四边形O1C BO2是平行四边形.② AE＞AB证明1：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB，∴AE=AF.记AF交BD为G ∵AB⊥CD，∴ AF＞AG＞AB，当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，当点E在劣弧上 (不与点B重合)时，设AE交CD与H，AE＞AH＞AB综上，AE＞AB.证明2：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF.∵ AC=AD 直角△AFD≌直角△AEC.∴ AE=AF.证明3：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.∵∠DBF=∠DAF. ∴∠ADF+∠DBF=90°.又∵∠DBF=∠EBC. ∠ABE+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABE.∵∠ABE=∠ACE. ∴∠ADF=∠ACE.∵AC=AD，∴直角△AFD≌直角△AEC.∴AE=AF.【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n.图8-9(1)证明：四边形A1B1C1D1是矩形；(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；(3)写出四边形A n B n C n D n的面积；(4)求四边形A5B5C5D5的周长.分析：通过题目中所给条件，充分应用三角形的中位线定理结合矩形的判定定理，从而比较容易的得出证明.(1)证明:∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，∴A1D1是△ABD的中位线.∴A1D1∥BD，A1D1=BD，同理：B1C1∥BD ，B1C1=BD.∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1,即∠B1A1D1=90°.∴四边形A1B1C1D1是矩形.解：(2)四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；(3)四边形A n B n C n D n的面积为24×；(4)方法一：由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3；∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1；∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，则4x·3x=×24,解得x=；∴4x=1,3x=.∴矩形A5B5C5D5的周长=2(1+)=.方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积=(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2即∶12=(矩形A5B5C5D5的周长)2∶142∴矩形A5B5C5D5的周长=.历年真题一、选择题1如图8-10，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE 的周长是( )图8-10A.6B.8C.9D.10答案：B解析：有平行四边形的性质可得：AB=CD=3，AD=BC=5.结合垂直平分线的性质得AE=CE.所以△CDE的周长为AD+CD=8.2 如图，8-11已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( )图8-11A. B. C. D.1答案：B分析：有图形的性质可过点O分别作出AB、BC的垂线，利用垂径定理和切割线定理可求出圆的半径.3.如图8-12，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有( )图8-12A.3对B.4对C.5对D.6对答案：A解析：应用矩形的有关性质、面积的计算方法可以任意的证明四边形AGPE的面积等于PFHC，四边形AGHD的面积等于四边形FEDC，四边形ABFE的面积等于四边形BGHC，共3对.二、填空题4.如图8-13，已知弦AB的长等于⊙O的半径，点C是上一点，则∠ACB=____________度.图8-13答案：30解析：由AB的长等于半径，则弦AB所对的弧的度数为60度，所以∠ACB的度数为×60=30度.5如图8-14，⊙O为△ABC的外接圆，直径AB=10，弦BC=8，则弦AC=_________.图8-14答案：6解析：由AB为直径，则∠C=90°，所以由勾股定理可计算出弦AC=6.6.如图8-15，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8 cm，DE=2 cm，则OD的长为____________.图8-15答案：3解析：∵点E为弧AC的中点，∴DE⊥AC，由垂径定理可知AD=CD=4 cm.在直角三角形中用勾股定理可求出OD=3 cm.7.如图8-16，已知A=30，点B，C是AD上的三等分点，分别以AB，BC，CD为直径作圆，圆心分别为E，F，G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M，N，则弦MN的长是__________.图8-16答案：8解析：连结GP，过F点作FH垂直于MN于H.则△AGP∽△AFH，所以，所以FH=3，连结FM，在直角三角形FMH中由勾股定理得MH=4，所以MN=8.三、解答题8.已知：如图8-17，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P=90°.图8-17证明：∵AB∥CD，∴∠EFD+∠FEB=180°.∵EP、FP分别平分∠BEF、∠DFE，∴∠FEP+∠EFP=90°.∴∠P=90°.9.如图8-18①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC=8 cm，BC=6 cm，∠C=90°，EG=4 cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点.如图8-18②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F 运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s)，FG 的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).①②图8-18(1)当x为何值时，OP∥AC ?(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.(参考数据：1142=12 996，1152=13 225，1162=13 456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16)解：(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴∴FG==3 cm.∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC.∴ x=×3=1.5(s).∴当x为1.5s时，OP∥AC.(2)在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=5 cm.∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH.∴∴∴ AH=( x+5)，FH=(x+5).过点O作OD⊥FP，垂足为 D.∵点O为EF中点，∴OD=EG=2 cm.∵FP=3-x，∴S四边形OAHP=S△AFH-S△OFP=·AH·FH-·OD·FP=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x)=+3 (0＜x＜3).(3)假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.则S四边形OAHP=×S△ABC∴+3=×6×8∴6x2+85x-250=0.解得 x1=，x2=(舍去).∵0＜x＜3，∴当x=(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.10已知：如图8-19，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.图8-19证明：∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO=CO′.证得：△AOE≌COF.证得：四边形AECF是平行四边形.由AC⊥EF可知：四边形AECF是菱形.11如图8-20：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1.图8-20(1)连结D1D，求证：∠ADD1=90°；(2)连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；(3)在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合(1)(2)的结论，请你再做出一个合理的判断.(1)证明：∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，∴∠OAD=∠B 1AD1=90°，OA=AD=AB1=AD1.∴∠OAB1=∠DAD1.∴△AOB1≌△ADD1.∴∠ADD1= 90°.(2)解：∠C1CN=45°.如右图作C1H⊥ON于H.证明：∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，∴∠AOB1=∠C1HB1=90°，AB1=B1C1.又∵∠AB1O+∠C1B1H=90°，∠AB1O+∠OAB1=90°，∴∠C1B1H=∠OAB1.∴△AOB1≌△B1HC1.∴B1H=OA，C1H=OB1.∵OA=OC，∴OC=B1H.∴OB1=CH，∴CH=C1H，∴∠C1CN=45°.(3)解：作图略.推得：(∠ADD2=90°、∠C2CN=45°、D、D1、D2在一条直线上、C、C1、C2在一条直线上.)12.已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图8-21①)，易证：OD+OE=2OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图8-21②、图8-21③这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.①②③图8-21解析：图2结论：OD+OE=OC.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.△CPD≌△CQE，DP=EQOP=OD+DP，DQ=OE-EQ又OP+OQ=OC，即OD+DP+OE-EQ=OC∴OD+OE=OC.图3结论：OE-OD=OC.13. 如图8-22，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF.图8-22求证：(1)AE=BF；(2)AE⊥BF.分析：证明线段相等的方法，通常是通过证明两个三角形全等来证明.而证明线段垂直的方法是通过直角三角形的两锐角互余等方法证明.证明：(1)在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；(2)如图延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由(1)知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF.14.如图8-23，已知：M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2.求证：AC=BD.图8-23证明：∵M是AB的中点,∴MA=MB.∵MC=MD,∠1=∠2,∴△AMC≌△BMD.∴AC=BD.评述：证明线段相等的一般方法是证两个三角形全等.由已知条件可以用边角边定理证明全等，故AC=BD.15.如图8-24,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.图8-24(1)若AD=5, BC=11,梯形的高是4,求梯形的周长.(2)若AD=a, BC=b,梯形的高是h,梯形的周长为c.则c=_________.(请用含a、b、h的代数式表示;答案直接写在横线上,不要求证明.)(3)若AD=3, BC=7, BD=,求证：AC⊥BD.解：(1)如右图过点A作高，交BC于点E.则BE=3，所以AB=5，故梯形的周长为：5+11+5+5=26.(2)同理可得：c=a+b+.(3)证明：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F.则四边形ADFC为平行四边形.∴CF=AD=3.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD=.在△BDF中，BD=DF=，BF=BC+CF=10.∴BD2+DF2=BF2，∴△BDF为直角三角形.∴BD⊥DF.∵AC∥DF.∴AC⊥BD.评述：在解决有关梯形问题时，常常通过作高线、平移一腰、平移对角线，转化为三角形和平行四边形、矩形等知识来解决.16.如图8-25⊙O半径为2，弦BD=，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD 上.图8-25求：四边形ABCD的面积.解：如右图连结OA、OB，OA交BD于F.OF=1AF=1S△ABD=BD·AF=AE=CE S△ADE=S△CDE，S△ABE=S△CBES四边形ABCD=2S△ABD=评述：有关几何图形的计算，特别是涉及圆的计算多数都与垂径定理、勾股定理等知识点有关.对这些知识的综合应用是中考的一个方向.既能考查对知识的掌握情况又可以提高学生解决问题和分析问题的能力.17. 如图8-26，CB，CD是⊙O的切线，切点分别为B，D.CD的延长线与⊙O直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.图8-26(1)探索OC与ED的位置关系，并加以证明；(2)若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值.解：(1)ED∥OC.证明(思路)：如右图连OD，BD，证DE⊥BD，CO⊥BD.(2)∵ ED∥OC，∴∠ADE=∠ACO.又∵ CB，CD是⊙O的切线，切点分别为B，D，∴∠BCO=∠ACO，∴∠ADE =∠BCO.记⊙O的半径为R，∵ED∥OC，AD=4，CD=6，∴，∴ AE=.又∵AD2=AE·AB，16=·，∴ R=3.即BO=3，而BC=CD=6，∴tan∠ADE=tan∠BCO=.评述：结合三角函数的知识来考查圆的内容，是近几年中考普遍存在的问题.一般难度比较大，对于此类问题的处理方法：既要合理的安排时间，平时也要多练习，多总结.18.如图8-27，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.图8-27(1)求证：△ABM≌△CDM；(2)四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；(3)若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.答案: (1)证明：∵四边形ABCD为等腰梯形.∴AB=DC.∴M是AD的中点.∴AM=DM.∴△ABM≌△CDM.(2)解：四边形MENF是菱形由△ABM≌△DCM.∴MB=MC.∵E、F、N分别是MB、MC、BC的中点.∴ME=BM，MF=MC，NF=BM，NE=MC.∴ME=MF=FN=NE.∴四边形MENF是菱形.(3)解：梯形的高等于底边BC的一半.连结MN.∵MENF是正方形.∴∠BMC=90°.∵MB=MC，N是中点.∴MN⊥BC且MN=BC.19.如图8-28，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合).BE 的垂直平分线交AB于M，交DC于N.图8-28(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?解:(1)连接ME,设MN交BE于P,根据题意,得MB=ME,MN BE.过N作AB的垂线交AB于F,在Rt MBP和Rt MNF中,∠MBP+∠BMN=90°,∠FNM+∠BMN=90°,∴∠MBP=∠MNF.又AB=FN,∴在Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=2-AM,∴(2-AM)2=x2+AM2解得AM=1-所以四边形ADNM的面积S=×2=2AM+AE=2(1-)+x=+x+2即所求关系式为S=+x+2(2)S=+x+2=(x2-2x+1)+=(x-1)2+.∴当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大.最大值是.评述：本题注重了考查用代数知识解决几何问题的能力，特别是用方程的思想去解决问题，这是中考试题的特点.同时此类问题还应该注意一些辅助线的添加方法，真正做的有的方矢，提高解题的速度.。