机械振动与机械波习题课
一、基本概念
1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长
6、波速：单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)
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典型例题
1、一木板在水平面上作简谐振动,振幅是 12cm,在距平衡位置6cm处速度是24m/s。 如果一小物块置于振动木板上,由于静磨擦力 的作用,小物块和木板一起运动(振动频率不 变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始 在木板上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系 数μ为多少?
m h
A k
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解：
m作加速直线运动
物理过程 m与A作完全非弹性碰撞
2m作简谐振动
（1）机械能守恒 v 2gh
（2）动量守恒 V v 1 2gh 22
（3）证明：
确定坐标及坐标原点
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2m A
ok
d2x 2m gk(xx0)2md2t
所传播的距离称为波速
7、平均能量密度：能量密度的平均值。 精选课件
1 2
A22
1
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8、平均能流密度：能流密度的平均值。 I u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x2x0
d2t
d220
d2t
2、简谐振动的运动方程
xAco st() 0cost ()
3、由初始条件确定 A
x
k 2
k 0 ,1 , A ma x 2 A
(2 k 1 ) 4
k 0 ,1 .2 A m in 0
波腹 波节
'
u u
vo vs
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6
机械振动与机械波习题课 三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
NB fB
A
B
d2x 2g
x0 dt2 d
x
T 2 d 0.9s 2g
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3、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为m的平 板A相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距A 为h高处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明 碰撞后系统作简谐振动并给出该振动的振动方程。
4、假想沿地球的南北极直径开凿一条贯通地球的隧 道,且将地球当作一密度ρ=5.5g/cm3的均匀球体。 (1)若不计阻力,试证明一物体由地面落入此隧道后作 简谐振动； (2)求此物体由地球表面落至地心的时间。 (万有引力常数G=6.67×10-11N.m.kg-2)
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动
y A co (ts u x [ ) ] A co t s 2 ( x )
uT
与
1A22 Iu
2
波波
2 1 2 ( r 2 r 1 ) ( 2 2 k k 1 )
k 0 , 1 ,2 , 加 A 强 A 1 A 2 k 0 , 1 ,2 , 减 A 弱 A 1 A 2
k0,1,2 加 强 k0,1,2 减 弱
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8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.
x
(k 2k 2 1 )k 40 ,1 k, 0,1.2 A mA a m x2 in A 0
波腹 波节
g
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2、已知：d=10cm，=0.25，
（1）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。
d
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解：力矩平衡NAd=Mg(d/2-x)
NBd=Mg(d/2&#- 2Mgx/d=Ma
y NA
fA O Mg
y A co (t su x [ ) ] A co 2 (T s t [ x ) ]
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
2 1 2 (r2 r1) (2 2 k k 1 )k k 0 0 ,1 ,1 ,2 ,2 , , 加 减强 弱
r1r2 (k2k1)2
证明：（1）由万有引力定律（马文蔚 万有引力场）
FGM m M 4r3
r2
3
F=ma得： d2r 4Gr0
dt2 3
（2） T2 2/ 4G
9、多普勒效应：
'
u u
vo vs
v o 观察者向波源运动 + ，远离 .
v
s
波源向观察者运动
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，远离 + .
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d2x 2x 0
d t2
xAco st( ) 旋转矢量法
2
T
1
T
A x 0 2v0 2 2
ta n v x 0 0( )
振
振动
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2s ( 1 ) tg A A 1 1c so i ns 1 1 A A2 2s cio n 2 s2
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2
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A
x02
v02
2
tan v0 x0
4、简谐振动的能量
EEk
EP
1kA2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s (1)
tgA1sin1A2sin2 A1cos1A2cos2
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6、一维简谐波的波动方程：
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解： xA cost ()
v A si n t ()
在 x6cm ,v2c 4m /s有：
解以上二式 得4
3
aA2cost,M在最大位移处
aA2
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若 m A2稍稍大 m， 于 g 则 m开始
在 M 上滑 ,取 动 :
mgmA 2
A2 0.0653
其中： 2mgk x0
k
x
d2x 2m dt2
d2x dt2
2
x
0
x
k 2m
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2m A
ok
t0,x0m k g,v0
2gh 2
利用初始条件：
Amg1kh,tg1 kh
k mg
mg
xmg1khcosk(ttg1 kh)
k mg 2m
mg
x
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