尺寸链原理与计算
§3 尺寸链计算的基本公式
一、尺寸链中基本尺寸、偏差及公差之间的关系：
A max
ΔsA
T/2 A min A ΔxA Am
T/2
ΔmA
尺寸链计算所用符号
尺寸链各环的基本尺寸计算 下图为多环尺寸链
A1 A4
A2 A5
A∑
A3 A6
各环的基本尺寸可写成等式为：
A1 A2 A A3 A4 A5 A6
而在零件中往往是精度要求最低的尺寸，通常在零件图中不予
标注。
A1
A∑ A2 A3
L2 L1
L3 L∑ L4
L2 L1
L3 L∑ L4
A1
A∑
A2
A3
3. 组成环 一个尺寸链中，除封闭环以外的其他各环，都是“组成 环”。按其对封闭环的影响可分为增环和减环。
表示为：Ai 、Li i=1,2,3……
增环：在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某一组 成环增大，封闭环也随之增大，该组成环即称为“增环”。
n
x Ai s Ai
i 1 i 1
m
n
因为零件图和工艺卡片中的尺寸和公差，一般均以上、下偏 差的形式标注，所以该式较为简便迅速
3.各环公差的计算
T A max A min ( Ai max Ai min ) ( Ai min Ai max )
成的封闭尺寸链。
2．按照各构成尺寸所处的空间位置，可分： (1) 直线尺寸链：尺寸链全部尺寸位于两 根或几根平行直线上，称为线性尺寸链。 (2) 平面尺寸链: 尺寸键全部尺寸
A5 A4 A3 A2 A1
L2 L3 L∑ L4 L1
A6 AΣ A7
位于一个或几个平行平面内。
A6 AΣ A4 A1 A2 A3 A5
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1. 各环尺寸与公差的计算
(1)各环平均尺寸之间的关系：封闭环的平均尺寸等于增环 的平均尺寸之和与减环平均尺寸之和的差。
A A A
m n 1 0 i 1 i i m 1
n 1 i 1
i
(2) 各环公差之间的关系：封闭环的公差等于组成环公差平 方和的平方根。
也即：
A A4 A5 A6 A1 A2 A3
由此可以推得多环尺寸链的基本尺寸的一般公式： 对于任何一个总数为N的独立尺寸链，若其中增环数为m， 由于其封闭环只有有一个，则减环数n为n=N－1－m。故：
A Ai Ai
i 1 i 1
结论：封闭环公差等于所有组成环公差之和，它比任何组成环 公差都大。所以应用中应注意： (1) 在零件设计中，应选择最不重要的环作为封闭环。
(2) 封闭环公差确定后，组成环数愈多，则分到每一环的公
差应愈小。所以在装配尺寸链中，应尽量减小尺寸链的环数。 即“最短尺寸链原则”。
三、概率解法
极值解法特点：
(3) 空间尺寸链: 尺寸链全部尺 寸位干几个不平行的平面内。
3．按照构成尺寸链各环的几何特征，可分为： (1) 长度尺寸链：所有构成尺寸的环，均为直线长度量。 (2) 角度尺寸链：构成尺寸链的各环为角度量，或平行度、 垂直度等。
AΣ A1 A2 A3
4．按照尺寸键的相互联系的形态，又可分为：
（1）独立尺寸链：所有构成尺寸链的环，在同一尺寸链中。 （2）相关尺寸链：具有公共环的两个以上尺寸链组。即构成尺
i 1 i 1 i 1 i 1
m
n
m
n
s Ai x Ai
i 1 i 1
m
n
x A A min A ( Ai min Ai max ) ( Ai Ai )
i 1 i 1 i 1 i 1
m
n
m
m
n
A min Ai min Ai max
i 1 i 1
m
n
2.各环上、下偏差的计算
根据上述的几个式子可得出封闭环上、下偏差计算的一般公式：
s A A max A ( Ai max Ai min ) ( Ai Ai )
A 2max A 1min
A max A1max A2 min
同理：
A1 A 1max
A min A1min A2 max
三环尺寸链极限尺寸计算关系图
当多环尺寸键计算时，则封闭环的极限尺寸可写成一般 公式为：
A max Ai max Ai min
i 1 i 1
三、尺寸链的分类 1.按不同生产过程来分 (1) 工艺尺寸链：在零件加工工序中，由有关工序尺寸、设 计尺寸或加工余量等所组成的尺寸链。
(2) 装配尺寸链：在机器设计成装配中，由机器或部件内若
干个相关零件构成互相有联系的封闭尺寸链。包含零件尺寸、 间隙、形位公差等。 (3) 工艺系统尺寸链：在零件生产过程中某工序的工艺系统 内，由工件、刀具、夹具、机床及加工误差等有关尺寸所形
m
n
上式说明：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环基本 尺寸之和，减去各减环基本尺寸立和。
二、极值解法
1、各环极限尺寸计算 当增环为最大极限尺 寸，而减环为最小极 限尺寸时，封闭环为
A2 A ∑max A 2min Δ sA2 T2 Δ sA2 A∑ A ∑min T1 Δ sA1 Δ sA1
最大极限尺寸。
L2 L2 L3 L∑ L4 L1 L3 L4 L5 L1 L∑
L1为增环
L1、L4为增环
减环：在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某 一组成环增大，封闭环却随之减小，该组成环即称为 “减环”。
L2 L2 L3 L∑ L4 L1 L3 L4 L5 L1 L∑
L2、L3 、 L4为减环
L2、L3 、 L5为减环
i 1 i 1 i 1 i 1
m
n
m
n
( Ai max Ai min ) ( Ai max Ai min ) T i T i
i 1 i 1 i 1 i 1
m
m
n
n
m
n
i 1
i 1
即：
T Ti
i 1
N 1
2. 尺寸链的含义
尺寸链的含义包含两个意思： (1)封闭性：尺寸链的各尺寸应构成封闭形式（并且是按照 一定顺序首尾相接的。 (2)关联性：尺寸链中的任何一个尺寸变化都将直接影响其
它尺寸的变化。
二、尺寸链的有关术语 1. 尺寸键的环 构成尺寸链的每一个尺寸都称为“环”。
组成环 Ai 可分为 封闭环 A∑
同时影响各个尺寸链，所以，在解尺寸链时，一般不轻易改
变公共环尺寸。
§2 尺寸链的计算方法 尺寸链的计算方法，有如下两种： (1) 极值解法：这种方法又叫极大极小值解法。它是按误差综合
后的两个最不利情况，即各增环皆为最大极限尺寸而各减环皆
为最小极限尺寸的情况；以及各增环皆为最小极限尺寸而各减 环皆为最大极限尺寸的情况，来计算封闭环极限尺寸的方法。 (2) 概率解法：又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键计 算的一种方法。如算术平均、均方根偏差等。
种计算主要用在审核图纸，验证设计的正确性。如下例：
例如齿轮减速箱装配 后，要求轴承左端面 与左端轴套之间的间 隙为L∑ 。此尺寸可通
L5
过事先检验零件的实
际尺寸L1、L2、L3、 L4、L5 ，就可预先知 L∑的实际尺寸是否合 格?
L∑ L2 L1 L3 L4
2．已知封闭环，求组成环
根据设计要求的封闭环基本尺寸及公差（或偏差），反过 来计算各组成环基本尺寸及公差（或偏差），称为“尺寸链的 反计算”。 如齿轮零件
概率解法时计算的公差，是正态分布下所取的误差范围内的尺
寸变动，即尺寸出现在该范围内的概率为99.73%，由于超出之
外的概率仅为0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至于出 2、l3加工后间接得到的。因此,为了保证10士15，势必对L1，
L2，L3的尺寸偏差限制在一定范围内。即已知封闭环L∑ =10 士0.15，求出各组成环L1，L2，L3尺寸的上下偏差。
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环
根据封闭环和其他组成环的基本尺寸及公差（或偏差） 来计算尺寸链中某一组成环的基本尺寸及公差（或偏差）。 其实质属于反计算的一种，也可称作“尺寸链的中间计 算”。这种计算在工艺设计上应用较多，如基准的换算，工 序尺寸的确定等。
尺寸链原理与计算
§1 尺寸链的定义和组成 一、尺寸链 尺寸链指的是在零件加工或机器装配过程中，由相互联系 的尺寸形成的封闭尺寸组。
A1
A∑ A2 A3
L2 L1
L3 L∑ L4
L2 L1
L3 L∑ L4
A1
A∑
A2
A3
1.尺寸链的分类
(1)出现在零件中，称之为零件尺寸链 (2)由工艺尺寸组成，称之为工艺尺寸链 (3)出现在装配中，称之为装配尺寸链
优点：简便、可靠、可保证不出现不合格品。
Ti 关系式所分配给各组成环公差过于严格。 缺点：根据 T i 1
N 1
甚至无法加工。不够科学、不够合理。 概率解法就可以克服极值解法的缺点，使其应用更为 科学、合理。
概率解法的数学依据：
在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，
彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
