0 cz az a y az 0 ax a y bx ax b y 0 bz
C A B cx
cy
7. 三重矢量积
0 C A B cz c y
c z 0 cx
4．矢量A与B端点之间的距离 |A－B|＝[(a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2]1/2 5．矢量A与B的数量积 A· B＝|A|· |B|cosθ 或 A· B＝AT B
A· B＝a1· b1＋a2· b2＋a3· b3 ＝B · A cosθ ＝ A · B/(|A|· |B|) ①．A2＝a12＋a22＋a32 ＝|A|2 则：|A|＝( A2 )1/2 ＝(a12＋a22＋a32 )1/2 ②．A⊥ B 充要条件是： A · B＝0 ③．i2＝j2＝k2＝1 （0≤θ ≤π ）
1.1.3 矢量运算的矩阵表达
1．矢量的表达形式
r＝x i ＋y j ＋z k ＝[x,y,z]T
设有矢量A、B 、C A＝[ax,ay,az]T B＝[bx,by,bz]T C＝[cx,cy,cz]T
2．矢量的和与差
A±B＝[ax±bx,ay±by,az±bz]T 3．数量与矢量的乘积
λ A＝[λ ax,λ ay,λ az]T
课程内容：
1．微分几何的数学分析基础：矢量代数，矢量函数的微分，圆矢量函数和球 矢量函数，曲线和曲面的表达方法，矢量函数的应用分析。 2．曲线论：曲线的矢量方程，曲线的切线和法平面，曲线的自然方程和弧长， 曲线的基本三棱形，曲线的基本公式，曲线的曲率和挠率，曲线上一点邻近的 结构。 3．曲面论：曲面的矢量方程，曲面的切平面和法线，曲面的参数变换，可展
A³B ＝(a2b3－a3b2)· i＋(a3b1－a1b3)· j＋(a1b2－a2b1)· k ①．A³B ＝ -B³A ②．A∥ B 或 A、B共线的充要条件是： A³B＝0 ③．Sinθ ＝ e²(A ³B)/(|A|· |B|) （A至B之有向角θ ） 7．矢量的运算规律
①．不满足交换率：A³B ＝ -B³A
1.2 矢量函数的微分
1、矢量函数的导数 2、矢量函数的求导规则
3、定长矢量函数和定向矢量函数
1.2.1 矢量函数的导数
1. 矢量函数 定义：对于可行域D中每一点t都有一确定的矢量r与之对应，则在D上定 义了一个矢量函数 r＝r（t） 若： t∈DС R1 若：（u，v）∈DС R2 则得一元矢量函数 r＝r（t） 则得二元矢量函数 r＝r（u，v）
例2：已知两平面：a1x＋b1y＋c1z＋d1＝0，a2x＋b2y＋c2z＋d2＝0 ，
求过r0＝[x0,y0,z0]T点，且平行于两平面交线的直线方程。
解： 设所求直线上任意点P的矢径r＝[x,y,z]T ，常数λ 。 两平面的法矢量 n1＝[a1,b1,c1]T 、n2＝[a2,b2,c2]T
1.5、矢量函数的应用
1.1 矢量代数
1、自由矢量和点矢量
2、矢量运算
3、矢量运算的矩阵表达
1.1.1 自由矢量和点矢量 矢量 x ＝x1 i＋x2 j ＋x3 k＝[x1,x2,x3 ]T
1. 自由矢量
注重其大小、方向、而不注重其作用点的矢量称为自由矢量， 切线矢量、法线矢量都属于自由矢量：T＝[ Tx,Ty,Tz ]T 、N＝[ Nx,Ny,Nz ]T
3. 矢量函数导数特性 ①. 矢量函数 r＝r（t）的导数 r′＝r′(t)是一个矢量函数，方向表示曲 线上对应点的切线方向，其正向与曲线Γ 的参数t的增值方向一致。 ②. 曲线Γ 有切线的充分条件为：r′≠0 r′＝x′(t)· i＋y′(t)· j＋z′(t)· k ③. r′＝0时，切线方向不定。 在直角坐标系里表示为：
1.2.2 矢量函数的求导规则 1. 一元矢量函数 r＝r（t）的导数 设 u、v、w 都是t的矢量函数，λ是t的纯量（数量）函数 即： u＝u（t）、v＝v（t）、w＝w（t）、λ＝λ（t）
cy 0 c x a z a 0 y
az 0 ax
a y bx ax by 0 b z
8. 四重数积
0 A B C D az a y
微分几何
微分几何 （Differential Geometry ）
微分几何是一门数学，利用矢量分析的方法研究空间曲线和曲面的局部特性。 主要内容：圆矢量函数和球矢量函数，矢量的旋转，矢量函数的微分， 曲线论（空间曲线基本理论），曲面论（空间曲面基本理论），微分几何在工程 中的应用。 主要应用：矢量绘图，曲面设计，曲面成型，曲面加工等； 应用软件：MATLAB进行曲线和曲面整体特性描述。
直纹面和斜直纹面，曲面第一基本齐式，曲面的活动标形，曲面第二基本齐式，
曲面的法曲率，主方向与主曲率，短程曲率，短程挠率，法曲率与短程挠率之 间的关系，曲面上一点邻近的结构。
1、微分几何的数学分析基础
1.1、矢量代数 1.2、矢量函数的微分 1.3、圆矢量函数和球矢量函数 1.4、曲线和曲面的表达方法
单位矢量：n＝ x/|x|
|n|＝1
则： x＝|x|· n
i ＝[1,0,0 ]T ，j ＝[0,1,0 ]T ，k ＝[0,0,1 ]T 零矢量： |x|＝0 记为：x＝0
设矢量： A ＝[a1 ,a2 ,a3 ]T ，B ＝[b1 ,b2 ,b3 ]T
C ＝[c1 ,c2 ,c3 ]T ，D ＝[d1 ,d2 ,d3 ]T 2．矢量的和与差 A±B＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝[a1±b1 ,a2±b2 ,a3±b3 ]T 3．矢量与数量乘积 设数量λ 则： λ A ＝λ a1 i＋λ a2 j＋λ a3 k＝[λ a1 ,λ a2 ,λ a3 ]T
4．矢量的数积
A B AT B ax
ay
bx b az y bz
5. 矢量的乘积
0 A B az a y
6. 三重数积
az 0 ax
a y bx a y bz az by a b a b ax b x z y z x 0 bz axby a y bx
9．矢量的三重矢量积
A³(B³C)＝B(A· C)－C(A· B) (A³B)³C＝B(A· C)－A(B· C)
10．四重数积——拉格朗日(Lagrange)恒等式
(A³B)· (C³D)＝(A· C)(B· D)－(A· D)(B· C) 证明：(A³B)· (C³D)＝(A,B,(C³D))＝A· (B³(C³D)) ＝A · [C(B· D)－D(B· C)]＝(A· C)(B· D)－(A· D)(B· C) 11．四重矢量积 (A³B)³(C³D)＝(A,B, D)C－(A,B,C)D 证明：(A³B)³(C³D)＝[(A³B)· D]C－[(A³B)· C]D ＝(A,B, D)C－(A,B,C)D
az 0 ax
a y bx ax by 0 b z
T
0 cz cy
cz 0 cx
cy d x cx d y 0 d z
若：（u，v，w）∈DС R3 则得三元矢量函数 r＝r（u，v，w）
2. 矢量函数的导数 设有曲线Γ ：r＝r（t） 在（t1≤t≤t2）连续， 即：当Δ t→0时Δ r→0 （Δ x→0，Δ y→0，Δ z→0）
r PN t r dr PT lim r(t ) r t 0 t dt
两平面的交线平行于矢量 T＝ n1³n2
所求直线平行于 T＝n1³n2 ，即 r－r0＝λ T 直线矢量方程为：（r－r0）－λ (n1³n2)＝0
用坐标表示为：
i j k x x0 b1c2 b2 c1 y y a b c a c a c 0 1 1 1 2 1 1 2 a2 b2 c2 z z0 a1b2 a2b1 x x0 y y0 z z0 ( ) b1c2 b2 c1 a2 c1 a1c2 a1b2 a2 b1
从坐标系σ (O；i,j,k)的原点O引出的矢量称为矢经， 矢经是点矢量，表示为：r＝[ rx,ry,rz ]T ，通常用矢
经 r 描述曲线Γ上的点P或曲面Σ上的点M。
1.1.2 矢量运算
1．矢量的表达
矢量： x ＝x1 i＋x2 j ＋x3 k＝[x1 ,x2 ,x3 ]T
矢量的模：|x|＝( x12＋x22 ＋x32 )1/2
②．不满足结合率：(A³B)³C ≠ A³(B³C) ③．满足分配率 ：A³(B＋C)＝A³B＋A³C
பைடு நூலகம் 8．矢量的三重数积
a1 ( A B ) C b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 ( A, B, C) c3
(A³B)· C 的几何意义：|(A,B,C)|是以A,B,C为棱的平行6面体体积。 ①．根据行列式特性可得以下推论： 推论Ⅰ：(A,B,C)＝(B,C,A)＝ (C,A,B) ＝ -(A,C,B)＝-(B,A,C)＝-(C,B,A) 推论Ⅱ：(A³B)· C＝A · (B³C)＝(A,B,C) 推论Ⅲ：(A＋D ,B,C)＝(A,B,C)＋(D,B,C) ②．A,B,C 共面条件： Ⅰ：(A,B,C)＝0 Ⅱ：C＝λA＋μB （常数λ、μ且A与B 不平行时）
自由矢量通常用单位矢量表示，单位切线矢量、法线矢量为：
t＝ T/|T|＝[ tx,ty,tz ]T 、n＝ N/|N|＝[ nx,ny,nz ]T 右旋直角坐标系表示为：σ (o；x,y,z)或σ (o；i,j,k)，
其中i,j,k为自由矢量。