t
2 T
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课程总结：
均方意义下的时频局部化概念。 Gabor变换。 连续小波变换。
定义，容许性条件，重构定理。 二进小波。
定义，稳定性条件，重构定理。 离散小波变换。
定义，框架与对偶框架，稳定性条件，， 重构定理，正交与半正交小波。
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Hale Waihona Puke 课程总结：多尺度分析的定义。 尺度函数，小波函数，双尺度方程和双尺度序
在多小波变换域，目前，矢值信号的边界处理仅从数量上不增加 和完全重建两个方面来考虑。在此基础上，可进一步研究如何更 好地保持边界的连续性及适合于人的视觉特性。
在静止图像压缩方面，将多小波变换和矢量量化结合起来，是 今后值得探讨的一个方向。同时，多小波在活动图像编码中的应 用，还有待研究。
研究双正交多小波的构造和应用也是富有意义的工作。
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二维信号的多层小波分解：
[A,L]=wavedec2(X,N，’wname’)
[A,L]=wavedec2(X,N,H,G) 其中：A ：各层分量， L：各层分量长度
N：分解层数 X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
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其他的二维函数：
对变换信号的伪彩色编码：wcodemat 反变换：idwt2,idwtper2, 重构： upwlev2,waverec2,wrcoef2,
Matlab中的小波分析工具箱
（Wavelet Toolbox,Ver.1.0)
Matlab小波分析工具箱提供了一个可视 化的小波分析工具，是一个很好的算法 研究和工程设计，仿真和应用平台。特 别适合于信号和图像分析，综合，去噪， 压缩等领域的研究人员。
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小波分析工具箱的七类函数：
常用的小波基函数。 连续小波变换及其应用。 离散小波变换及其应用。 小波包变换。 信号和图像的多尺度分解。 基于小波变换的信号去噪。 基于小波变换的信号压缩。
wnoislop.mat
叠加了白噪声的斜坡信号
……
……
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sum sin .mat sum sin(t) sin(3t) sin(0.3t) sin(0.03t)
f reqbrk.mat
f reqbrk(t )
sin(0.03t)
sin(0.3t)
1 t 500 501 t 1000
在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’）
?waveinfo('meyr')
MEYRINFO Information on Meyer wavelet.
Meyer Wavelet
General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.
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多小波的多分辨分析
(x)生成r重多分辨分析{Vj}，j Z ,如果{Vj}满足下列性质：
(1) V1 V0 V1
(2)
closL2 ( Vj ) L2
jZ
(3) Vj {0}
jZ
(4)
f (x) Vj f (2x) Vj1
(5) {l, j,k :1 l r, k Z}是Vj的Riesz基。
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2
常用的小波基函数：
参数表示
小波基的名称
morl mexh meyr haar dbN symN coifN biorNr.Nd
Morlet小波 墨西哥草帽小波 Meyer小波 Haar小波 紧支集正交小波 近似对称的紧支集双正交小波 Coifmant小波 双正交样条小波
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怎样获取小波基的信息：
c = cwt(s,[64 32 16:-2:2],'morl')
c = cwt(s,[3 18 12.9 7 1.5],'db2')
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一维离散小波变换：
dwt
[cA,cD]=dwt(X,’wname’)
[cA,cD]=dwt(X,H,G) 其中：cA ：低频分量， cD：高频分量
X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
参数表示
morlet mexihat meyer meyeraux dbwavf dbaux symwavf coifwavf biowavf
小波基的名称
计算Morlet小波滤波器系数
计算墨西哥草帽小波滤波器系数
计算Meyer小波与尺度滤波器系数
计算Meyer小波辅助函数
计算紧支集双正交小波滤波器系数
Regularity
indefinitely derivable
Symmetry
yes
Reference: I. Daubechies,
Ten lectures on wavelets,
CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, 137, 152.
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计算小波滤波器系数的函数：
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小波包分解：
树操作
allnodes 列出数结构的所有节点。 isnode 判断指定位置是否存在节点。 istnode 判断一个节点是否为终端节点。 nodejoin 树的剪枝。
……
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小波包分析函数：
besttree 寻找最优分解树。 bestlevt 寻找最优满树。 wentropy 计算熵值。 wpdec 一维信号的小波包分解。 wpdec2 二维信号的小波包分解。 wpfun 小波包函数族 wpjoin 小波包分解树的节点合并 wprec 一维信号的小波包信号重构。
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二维离散小波变换：
dwt2
[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)
[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,H,G) 其中：cA ：低频分量， cH：水平高频分量
cV：垂直高频分量 cD：对角高频分量 X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
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LastWave
小波信号和图像处理软件，用C语言编写， 可在Unix和Macintosh上运行。
下载地址：
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值得关注的几个发展方向：
提升小波变换（Lifting scheme wavelet transform)
多小波变换（Multiwavelet transform)
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多层小波分解：
[A,L]=wavedec(X,N，’wname’)
[A,L]=wavedec(X,N,H,G) 其中：A ：各层分量， L：各层分量长度
N：分解层数 X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
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其他的一维函数：
抽样： dyaddow 补零插值：dyaup 滤波器生成：qmf,orthfilt,wfilters 反变换：idwt,idwtper, 重构： upwlev,waverec,wrcoef,
列等概念及相互关系。 Mallat算法。 紧支集正交小波的生成方法。 小波采样定理。 小波包的概念和应用。 小波变换的应用。
其中：(x)＝(1,2 ,,r )T
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双尺度方程：
(x) Pk(2x k) k
其中：Pk是r r矩阵。 由于研究无穷矩阵序列的困难，通常的双尺度方程
为有限项。
M
(x) Pk(2x k) k 0
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多小波在理论上所表现出来的优势以及它在应用领域 所具有的潜力，使其受到高度重视。在它诞生的短短 几年时间内，从理论方面，多小波的构造、多小波变 换实现中，预滤波器的设计及信号的边界处理正迅速 成为新的研究热点，而对它在图像处理方面的应用， 人们正进行积极探索，并在静止图像编码、图像去噪 两方面取得了一定的成果。
加窗Fourier变换：STFT( f ) f , gt, f ,0,0,0 (t)
小波变换：WT ( f )(a, t) f , gt,0,a,0,0 (u)
高斯线调频小波变换：GCT (s)(t, f ) s(u), gt, f (u) ,log(t),0,q
1 s(u) exp[ 1 (u t )2 ]exp[ j2 ( fu qu2 )]du
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Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是将单小 波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为 由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。 1994年，Geronimo,Hardin和Massopus构造了著名的 GHM多小波。它既保持了单小波所具有的良好的时域 与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实 际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交 性完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域， 人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波 器组，初步形成了矢值滤波器组的理论体系，并建立 了它和多小波变换的关系。
wprec2 二维信号的小波包信号重构。 …
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信号去噪与压缩：
在小波变换域上进行阀值处理。
多层小波分解
阀值操作 多层小波重构
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其他的免费软件工具：
Wavelab David Donoho在斯坦福大学开发的 Matlab程序库，最新版本为Wavelab 0.802，有1200多个文件。
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用于验证算法的数据文件：
文件名
说明
sumsin.mat
三个正弦函数的叠加
freqbrk.mat