2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔水笔完成作图，不要涂改）的6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC 上．ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠；（2）求证：··BE EF BF AE =．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE =； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2； （2）若DCDN DE BE =，求证：MN EF //.A B F EC第23题图 D MN13.（浦东新区一模）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．【答案】（1）见解析；（2）CF BF = 【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BF ED DA=，再由AB DA =，即可证明结论； （2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =，∴ABO EDO ，BFO DAO ， ∴AB BO ED DO =，BF BO DA DO =，∴AB BF ED DA=， ∵AB DA =，∴2AB DE BF =⋅；（2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠，在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADO CDO SAS ≅，∴DAO DCO ∠=∠，∵//AD BF ，∴DAO OFC ∠=∠，∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠，∴OEC OCF ，∴OE OC OC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =，∴123OF =+=，∴OC =AO OC == ∵//AD CF ，∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE +==，∴12BC AD FC ==，BF BC CF FC FC =+=+=，∴(23363CF BF -===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=． 【分析】（1）先说明ADE ACB 可得AE AB AD AC=，再说明ADC AEB △△，最后根据相似三角形对应角相等即可证明： （2）先说明EDF EBD △△得到DF EF DE BD DE BE ==，进一步可得2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即可证明． 【详解】证明：（1）∵AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∵ADE ACB ，∵AE AB AD AC =， 又∵A A ∠=∠，∵ADC AEB △△，∵ABE ACD ∠=∠；（2）∵ED EC =，∵EDC ACD ∠=∠，∵ABE ACD ∠=∠∵EDC ABE ∠=∠，又∵DEF DEF ∠=∠，∵EDF EBD △△，∵DF EF DE BD DE BE ==， ∵2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，∵22DF EF BD EB =． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．【分析】（1）证明ACB EDC ∆∆可得∠ACB=∠EDC=∠CAD ，从而可得结论；（2）根据ASA 证明ADF DEC ∆≅∆，得到AF=DC ，再证明FCDDCA ∆∆，得到2FC CA CD =，即可得到结论．【详解】解：（1）∵B DCB ∠=∠，且CE CB AB CD ⋅=⋅，即CE CD AB CB = ∴ACB EDC ∆∆，∴ACB CDE ∠=∠∵CDE CAD ∠=∠，∴∠ACB=∠CAD ，∴//AD BC（2）∵//AD BC ，∴∠ADE=∠CED在△ADF 和△DEC 中，FAD EDC AD CEADF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△DEC ，∴AF=DC 又∵∠CDF=∠CAD ，∠FCD=∠ACD ，∴FCD DCA ∆∆ ∴FC CD CD CA=，即2FC CA CD = ，∴2AF CF CA =⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质找出比例式．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【分析】（1）由//EG AB 易证△CGE ∽△CAB ，由性质得CG CE =CA CB 由比例性质得CG CE =AG BE ，由已知BF=AG 比例式变为CG CE =BF BE，由已知DB DC =，利用等边对等角得∠FBE=∠GCE ，利用两边成比例夹角相等知BFE CGE △∽△；（2）由//EG AB ，利用性质内错角相等∠BAE=∠AEG ，由已知AEG C ∠=∠，推出∠BAE=∠C ，又∠ABE=∠CBA 共用，可证△ABE ∽△CBA ，由性质AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，把比例变等积得2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△利用性质∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，推出∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，利用等角对等边得AC=BC ，GC=EC ，利用等量代换得AG=BE ，可证2AB =AC AG ．【详解】（1）∵//EG AB ，∴∠CGE=∠CAB ，∠CEG=∠CBA ，∴△CGE ∽△CAB ，∴CG CE =CA CB ， ∴CG CE =CA-CG CB-CE 即CG CE =AG BE ，∵BF=AG ，∴CG CE =BF BE，∵DB DC =， ∴∠DBC=∠DCB ，即∠FBE=∠GCE ，∴BFE CGE △∽△，（2）∵//EG AB ，∴∠BAE=∠AEG ，又∵AEG C ∠=∠，∴∠BAE=∠C ，又∵∠ABE=∠CBA 共用，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，∴2AB =BC BE ， 由（1）BFE CGE △∽△，∴∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，∵//EG AB ，∴∠ABC=∠GEC ，∠BAC=∠EGC ，∴∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，∴AC=BC ，GC=EC ，∴AG=BE ，2AB =BC BE=AC AG ．．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB 、CD 同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B 铅笔水笔完成作图，不要涂改）【分析】（1）根据题意，写出已知、求证并画出图形，如解图所示，根据平行证出△AOB ∽△COD ，列出比例式并根据比例的性质可证AO BO AC BD=，再利用平行证出△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ，分别列出比例式即可证出结论；（2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，利用①、②的结论即可证明PN 平分线段AB 、CD ．【详解】解：（1）已知：四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作EF ∥CD ，分别交AD 、BC 于E 、F ，求证：OE=OF 证明：∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AO BO CO DO =，∴AO BO AC BD= ∵EF ∥CD ，∴△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ∴OE AO CD AC =，OF BO CD BD=，∴OE OF CD CD =，∴OE=OF ； （2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，如下图所示，PN 即为所求，证明如下的由①知：AM CN BM DN =，由②知：AM DN BM CN =，∴CN DN DN CN= ∴22CN DN =，∴CN=DN ，∴1AM DN BM DN==，∴AM=BM ，∴PN 平分线段AB 、CD ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行证相似和相似三角形的性质是解题关键．6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．ABC 的高AH 交GF 于点I ．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=． 分析】（1）证明,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，根据相似三角形的性质列出比例关系，整理即可证得结论；（2）要证明11n BC AH EF +=只需证明1nEF EF BC AH +=即1DE EF BC AH+=，证明∵AGF∵∵ABC ，根据相似三角形的性质以及比例的性质即可证明．【详解】解：（1）证明：∵四边形DEFG 为矩形，ABC 的高AH 交GF 于点I ，∴GD=EF,90GDH GDB FEC FEB AHB AHC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,又∵∵B=∵B,∵C=∵C ，∵,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽， ∴GD BD BD AH BH BD DH ==+,EF CE CE AH CH CE EH ==+，∵=BD CE BD DH CE EH++，∴BD EH DH CE ⋅=⋅； （2）证明：∵四边形DEFG 为矩形，∴,//GF DE GF BC =，90FEB EFG ∠=∠=︒，∴,AGF B AFG C ∠=∠∠=∠，∴∵AGF∵∵ABC ， ∵AH 为∵ABC 的高，∵∵AIF=∵AHC=90°，GF AI BC AH =,即DE AI BC AH=, ∵90FEB EF C G AH ∠=∠=∠=︒，∴四边形IHEF 为矩形，∴EF=IH ，∵DE n EF =⋅，∴1nEF EF DE IH AI IH AI IH AH BC AH BC AH AH AH AH AH ++=+=+===，∴11n BC AH EF+=． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质和判断．本题中相似三角形有很多，能结合结论判断是需要证明哪组三角形相似是解题关键．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．【分析】（1）先证明ADF CDB △△，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出1B ∠=∠，再证明BCD CAE △△，根据相似三角形的性质得出BC CE BD AC ⋅=⋅，根据等式的性质和等量代换即可得证．【详解】（1）CD BD ⊥，90ADF CDB ∴∠=∠=︒，AF CD BC AD ⋅=⋅,AD CDAF BC∴=, 在ADF 和CDB △中AD BCAF CD ADF CDB⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADFCDB ∴△△，F B ∴∠=∠，FAD EAB ∠=∠，90FDA BEA ∴∠=∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE AE BC =⊥，，AB AC ∴=，1B ∴∠=∠又90BDC AEC ︒∠=∠=,BCDCAE ∴△△，BC BDAC CE∴=，BC CE BD AC ∴⋅=⋅ 22BC CE BD AC ∴⋅=⋅，BE CE =，∴2BC CE =，∴22BC BD AC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BDDF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证；（2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BC ，ADB DBC ∠=∠∴，ABD C ∠=∠，∴ABD DCB △∽△，又∵AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BDDF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∴90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∴45ADB BDF ∠==︒ AE BD ⊥，∴90∠=︒AED ，∴cos45DE DFDA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△，DCB EFD ∴△∽△，DC BCEF DF∴=DF DC EF BC ∴⋅=⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅． 【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似 （2）证明出ADE BDA △∽△后可推出．【详解】证明：（1）··AE CE DE BE ADE BCE ADE ACB =⇒⇒∠=∠∽AB AD ADE ABE ACB ABE =⇒∠=∠⇒∠=∠∵两个三角形有一公共角∠BAC ∴ABE ACB ∽．（2）2·DA DE DB ADE BDA =⇒∽AED ⇒为等腰三角形BEC ⇒为等腰三角形AD AE AB AEAB EC BC AE BC EC BC EC⇒=⇒=⇒⋅=⋅． 【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠； （2）求证：··BE EF BF AE =． 【分析】（1）根据2CE DE BC =⋅得CE BCED CE=，再由BCE CED ∠=∠，可以证明BCE CED ，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明BFE AEB ∠=∠，即可证明EBF ABE ，就能得到结论．【详解】解：（1）∵2CE DE BC =⋅，∴CE BCED CE=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴BCE CED ∠=∠，∴BCE CED ，∴EBC DCE ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴AEB EBC ∠=∠， ∵EBC DCE ∠=∠，∵//AB CD ，∴BFE DCE ∠=∠，∴BFE AEB ∠=∠， ∵EBF ABE ∠=∠，∴EBFABE ，∴EF BFAE BE=，∴BE EF BF AE ⋅=⋅． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DEBD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项． 【分析】（1）延长AF 交BC 于点G ，可证AD=GC ，由//AF DC ，可证DF CG ADBD BC BC==，由ADE CBE △△，可证AD DEBC BE=，进而可证结论成立； （2）证明ADECBE △△，可证2CD BD DE =⋅，由（1）得AD DEBC BE=，即DF BE BD DE ⋅=⋅，进而可证线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF 交BC 于点G ，∵//AD BC ，//AF DC ， ∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AD=GC ． ∵//AF DC ，∴DF CG ADBD BC BC==，∵//AD BC ，∴ADE CBE △△， ∴AD DE BC BE =， ∴DF DEBD BE=；（2）∵//AD BC ，∴CBD ADB ∠=∠．∵ADB ACD ∠=∠，∴CBD ACD ∠=∠， ∵CDE BDC ∠=∠， ∴CDEBDC ，∴CD DEBD CD=， ∴2CD BD DE =⋅． ∵DF DEBD BE=，∴DF BE BD DE ⋅=⋅，∴2CD DF BE =⋅． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2；（2）若DCDNDE BE =，求证：MN EF //.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形； ∴AD AB =；……………（1分） ∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）∵BAE ABD AED ∠+∠=∠,BAE MAN BAF ∠+∠=∠； 又∵ABD MAN ∠=∠；A BF E C第23题图DMN∴BAF AED ∠=∠；……………（1分） ∴AED ∆∽FAB ∆；……………（1分） ∴ABDEBF AD =，即DE BF AB AD ⋅=⋅；……………（1分） ∴DE BF AB ⋅=2.……………（1分）（2）∵四边形ABCD 是菱形；∴BC AD =，BC AD //；……………（1分） ∴AD BM DE BE =；……………（2分） ∵DCDNDE BE =； ∴DC DN AD BM =，……………（1分）∴DCDNBC BM =；……………（1分） ∴BD MN //，即MN EF //.……………（1分）14. （浦东新区一模）Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD ＝CA ， DE ⊥AB ．（1）求证：CA 2＝CE •CB ；（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ，求证：CH ⊥AB ．【分析】（1）证明△DCE△△BCD ，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）证明△CAE△△CBA ，可得△CEA=△CAB ，由直角三角形的性质可证CM=AM ，从而△CAE=△ACM ，然后由等量代换可证△CAB+△ACM=90°，进而可证结论成立．【详解】证明：（1）△CA=CD ，△△A=△CDA ．△△ACD=90°，△△A+△B=90°．△DE△AB，△△CDA+△CDE=90°，△△B=△CDE．△△DCE=△BCD，△△DCE△△BCD，△CD CB CE CD=．△CD=CA，△CA CBCE CA=，△2CA CB CE=⋅；（2）△CA CBCE CA=，△ACE=△BCA，△△CAE△△CBA，△△CEA=△CAB．△△ACB=90°，△△CEA+△CAE=90°．△M为AE的中点，△ACE=90°，△CM=AM，△△CAE=△ACM．△△CEA=△CAB，△△CAB+△ACM=90°，△△AHC=90°，△CH△AB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．【分析】（1）由2·AD AE AC =，易证得ADC AED ∆∆∽，即可得ACD ADE =∠∠，又由//DE BC ，易证得ECD B ∠=∠，则可证得BCD CDE ∆∆∽；（2）由BCD CDE ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得CD DEBC CD=，又由//DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽，即可得AD DEAB BC=，继而得到结论． 【详解】证明：（1）2·AD AE AC =，∴AD ACAE AD=，A ∠是公共角， ADC AED ∴∆∆∽，ACD ADE ∴∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，BCD CDE ∠=∠，ECD B ∴∠=∠，BCD CDE ∴∆∆∽；（2）BCD CDE ∆∆∽，∴CD DE BC CD =，2CD DE BC ∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AB BC =，∴22CD ADBC AB=． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。