2008年普通高校招生全国统一考试(江苏卷数学1. (cos(6f x wx π=-的最小正周期为5π,其中0w >,则w = ▲ 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式。
2105T w w ππ==⇒=。
答案102.一个骰子连续投2次,点数和为4的概率为▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。
基本事件共66⨯个,点数和为4的有(1,3、(2,2、(3,1共3个,故316612P ==⨯。
答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,a b R ∈,则a b += ▲ 。
【解析】本小题考查复数的除法运算, 1,0,11ii a b i-=∴==+ ,因此a b +=1。
答案14. {}2(137,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为▲ 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。
由2 (137x x -<-得2580x x -+<因为0∆<,所以A φ=,因此A Z φ= ,元素的个数为0。
答案0 5.,a b 的夹角为0120,1,3a b == ,则5a b -= ▲ 。
【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为1313(22a b ⋅=⨯⨯-=-,所以22225(52510a b a b a b a b -=-=+-⋅ =49。
因此5a b -=7。
答案76.在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。
如图:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界,区域E表示单位圆及其内部,因此214416Pππ⨯==⨯。
答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h,随机选择了50位老人进行调查。
下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号(i分组(睡眠时间组中值(iG频数(人数频率(iF1 [4,5 4.5 6 0.122 [5,6 5.5 10 0.203 [6,7 6.5 20 0.404 [7,8 7.5 10 0.205 [8,9 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中,一部分计算算法流程图,则输出的S的值是▲。
【解析】本小题考查统计与算法知识。
答案6.428.直线12y x b=+是曲线ln(0y x x=>的一条切线,则实数b=▲。
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。
1yx'=,令112x=得2x=,故切点为(2,ln2,代入直线方程,得1ln222b=⨯+,所以ln21b=-。
答案ln21b=-9.在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,,(,0,(,0A aB bC c,点(0,P p在线段OA上(异于端点,设,,,a b c p均为非零实数,直线,BP CP分别交,AC AB于点E,F,一同学已正确算出OE的方程:1111x yb c p a⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,请你求OF的方程:▲。
【解析】本小题考查直线方程的求法。
画草图,由对称性可猜想1111 ((0x y c b p a-+-=。
事实上,由截距式可得直线:1x yAB a b +=,直线:1x y CD c p+=,两式相减得1111((0x y c b p a-+-=,显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求的直线OF 的方程。
答案1111((0x y c b p a-+-=。
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910按照以上排列的规律,第n 行(3n ≥从左向右的第3个数为▲ 。
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。
前1n -行共用了123(1n +++-(12n n -个数,因此第n 行(3n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(132n n-+个,即为262n n -+。
答案262n n -+11.2,,,230,y x y z R x y z xz*∈-+=的最小值为▲ 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。
由230x y z -+=得32x z y +=,代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=,当且仅当3x z =时取“=”。
答案3。
12.在平面直角坐标系中,椭圆22221(0x y a b a b+=>>的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点2(,0a c作圆的两切线互相垂直,则离心率e =▲ 。
【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。
如图,切线,PA PB 互相垂直,又OA PA ⊥,所以OAP ∆是等腰直角三角形,故22a a c =,解得22c e a ==。
答案2213.若2,2AB AC BC ==,则ABC S ∆的最大值▲ 。
【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2(定长,可以以AB 所在的直线为x 轴,其中垂线为y 轴建立直角坐标系,则(1,0,(1,0A B -,设(,C x y ,由2AC BC =可得2222(12(1x y x y ++=-+,化简得22(38x y -+=,即C 在以(3,0为圆心,22为半径的圆上运动。
又1222ABC c c S AB y y ∆=⋅⋅=≤。
答案2214.3(31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有(0f x ≥成立,则a = ▲ 。
【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。
要使(0f x ≥恒成立,只要min (0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22(333(1f x ax ax '=-=-01 当0a =时,(31f x x =-+,所以min (20f x =-<,不符合题意,舍去。
02当0a <时22(333(10f x ax ax '=-=-<,即(f x 单调递减,min ((1202f x f a a ==-≥⇒≥,舍去。
03当0a >时1(0f x x a'=⇒=±①若111a a ≤⇒≥时(f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和 1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在11,a a ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭上单调递减。
所以min1(min (1,(f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1400411(120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩②当111a a>⇒<时(f x 在[]1,1x ∈-上单调递减, min ((1202f x f a a ==-≥⇒≥,不符合题意,舍去。
综上可知a=4.答案4。
15.如图,在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边做两个锐角,αβ,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A ,B 的横坐标分别为225,105。
(1 求tan(αβ+的值; (2 求2αβ+的值。
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。
由条件得225cos ,cos 105αβ==, α 为锐角, 故72sin 0sin 10αα>=且。
同理可得5sin 5β=, 因此1tan 7,tan 2αβ==。
(117tan tan 2tan(11tan tan 172αβαβαβ+++==--⨯=-3。
(2132tan(2tan[(]11(32αβαββ-++=++=--⨯=-1,0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<,从而324παβ+=。
16.在四面体ABCD 中,CB=CD ,AD BD ⊥,且E ,F 分别是AB ,BD 的中点, 求证(I 直线EF D 面AC ;(II EFC D ⊥面面BC 。
证明:(I E ,F 分别为AB ,BD 的中点EF AD ⇒EF AD AD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面。
(II EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点又BD BCD ⊂面,所以EFC D ⊥面面BC17.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A ,B ,及CD 的中点P 处,已知20AB =km,10CD km =,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界,且A ,B与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO ,BO ,OP ,设排污管道的总长为ykm 。
(I 按下列要求写出函数关系式:①设(BAO rad θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式; ②设(OP x km =,将y 表示成x 的函数关系式。
(II 请你选用(I 中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。
【解析】本小题考查函数最值的应用。
(I ①由条件可知PQ 垂直平分AB ,(BAO rad θ∠=,则10AQ OA COS BAO COS θ==∠DEFCAB故10OB COS θ=,又1010tan OP θ=-,所以10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0cos 4θπθθ-=+<<。
②(OP x km =,则10OQ x =-,所以222(101020200OA OB x x x == -+=-+,所以所求的函数关系式为2220200(010y x x x x =+-+<<。
(I选择函数模型①。
22210cos (2010sin (sin 10(2sin 1cos cos y θθθθθθ-----'==。
令0y '=得1sin 2θ=,又04πθ<<,所以6πθ=。
当06πθ<<时,0y '<,y 是θ的减函数;64ππθ<<时,0y '>,y 是θ的增函数。
所以当6πθ=时min 10310y =+。
当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边1033km 处。
18.设平面直角坐标系xoy 中,设二次函数2(2(f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C 。
(1 求实数b 的取值范围; (2 求圆C 的方程;(3 问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关?请证明你的结论。
【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。
(1010(00b b f ∆>⎧⇒<≠⎨≠⎩且(2 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=。