2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2)解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)．2. 已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2i)2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16.4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________．(第4题)答案：32解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32.5. “φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________．答案：39解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×62＝39. 7. 函数y ＝1lnx(x≥e)的值域是________． 答案：(0，1]解析：y ＝1lnx为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________．答案：6解析：由题知流程图执行如下：第1次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，S ＝1，第2次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，S ＝3，第3次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，S ＝7，第4次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，S ＝15， 第5次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题)9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b是整数”的概率为____________． 答案：13解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．其中a b 整数的个数为4，从而所求概率为43×4＝13. 10. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥CABD 的体积为____________． 答案：233解析：如下图所示：作BC 中点E ，连结DE 、AE ，则易知BC ⊥平面ADE ， 从而V CABD ＝13S △ADE ·BC ，又DE ＝3，AE ＝7， 从而V CABD ＝13×12×2×3×2＝233. 11. 直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切，则实数k ＝__________．答案：2e解析：设切点(x 0，2ex 0)，则切线方程为y ＝2ex 0(x －x 0)＋2ex 0，又切线过点(0，0)，得x 0＝1，从而切点为(1，2e)，从而k ＝2e.12. 已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →·BC →＝2，OB →·CA →＝3，则OC →·AB →＝____________．答案：－5解析：由题设知OA →(OC →－OB →)＝2，OB →(OA →－OC →)＝3，两式相加得OA →·OC →－OB →·OC →＝5，即OC →·(OA →－OB →)＝5，从而OC →·AB →＝－5.13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________．答案：14解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14. 14. 已知x 、y ∈R ，满足2≤y≤4－x ，x≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为____________． 答案：103解析：由题易知x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令t ＝y －1x ＋1，则由线性规划知t ∈[13，1]，从而t ＋1t ∈[2，103]． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tanB tanA ＋1＝2c a. (1) 求角B ；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13，求sinA 的值． 解：(1) 由tanB tanA ＋1＝2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA ＋1＝2sinC sinA，(2分) 所以sinBcosA ＋cosBsinA cosBsinA ＝2sinC sinA， 即sin （A ＋B ）cosBsinA ＝2sinC sinA ，则sinC cosBsinA ＝2sinC sinA . 因为在△ABC 中，sinA≠0，sinC≠0，所以cosB ＝12.(5分) 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(7分) (2) 因为0＜C ＜2π3， 所以π6＜C ＋π6＜5π6. 因为cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13， 所以sin(C ＋π6)＝223.(10分) 所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋π6(12分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16.(14分) 16.(本小题满分14分)如图，正四棱锥P-ABCD 的高为PO ，PO ＝AB ＝2.E 、F 分别是棱PB 、CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．(1) 求证：EF ∥平面PAD ；(2) 若PC ⊥平面QDB ，求PQ.(1) 证明：取PA 中点M ，连结ME 、MD ，由条件得，ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ ME ∥DF.且ME ＝12AB ，DF ＝12AB ， ∴ ME ＝DF.(2分)∴ 四边形EFDM 是平行四边形．则EF ∥MD.(4分)又MD Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴ EF ∥平面PAD.(7分)(2) 解：连结OQ.∵ PC ⊥平面QDB ，OQ Ì平面QDB ，∴ PC ⊥OQ.(9分)∵ PO ⊥平面ABCD ，OC Ì平面ABCD ，∴ PO ⊥OC.由正方形ABCD 的边长为2，得OC ＝ 2.∵ PO ＝2，∴ PC ＝PO 2＋OC 2＝ 6.(11分)则PQ ＝PO·sin ∠CPO ＝2·26＝233.(14分)， 所以FH ＝|3x 0－4|x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－23x 0＋3 ＝|3x 0－4|34x 20－23x 0＋4＝|3x 0－4|⎝⎛⎭⎫32x 0－22＝2.(1417. (本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)＝9A a ＋bt n，其中t ＝2－23，a 、b 为常数，n ∈N ，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．(1) 栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；(2) 该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．解：(1) 由题意知f(0)＝A ，f(3)＝3A.所以⎩⎪⎨⎪⎧9A a ＋b ＝A ，9A a ＋14b＝3A ，解得a ＝1，b ＝8.(4分) 所以f(n)＝9A 1＋8×t n ，其中t ＝2－23. 令f(n)＝8A ，得9A 1＋8×t n＝8A ， 解得t n ＝164， 即2－2n 3＝164，所以n ＝9. 所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．(6分)(2) 由(1)知f(n)＝9A 1＋8×t n .第n 年的增长高度为Δ＝f(n)－f(n －1)＝9A 1＋8×t n －9A 1＋8×t n －1.(9分) 所以Δ＝72At n －1（1－t ）（1＋8t n ）（1＋8t n －1）＝72At n －1（1－t ）1＋8t n －1（t ＋1）＋64t 2n －1＝72A （1－t ）1t n －1＋64t n ＋8（t ＋1）(12分) ≤72A （1－t ）264t n ×1t n －1＋8（t ＋1） ＝72A （1－t ）8（1＋t ）2＝9A （1－t ）1＋t. 当且仅当64t n ＝1tn －1，即2－2（2n －1）3＝164时取等号，此时n ＝5. 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．(14分18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b.过点P 作两条互相垂直的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于另两点M 、N.(1) 求椭圆C 的方程； (2) 若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3) 若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．解：(1) 由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(3分) (2) 设l 1方程为y ＋1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k(k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0.因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2.(5分) 当k≠0时，用－1k代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3.(7分) 将k ＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1)．因为P(－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(9分) (3) (解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.(12分)若x 1＋x 2＝0，则N(－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1, 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x.(14分)若x 1－x 2＝0，则N(x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件． 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.(16分) (解法2)由(2)知，当k≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3， 化简得4k(k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5.(12分)若k ＝2＋5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，52，N(－12，－52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12. 若k ＝2－5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，－52，N(－12，52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12.(14分) 当k ＝0时，M(1，－1)，N(－1，1)，满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0.综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0.(16分) 19. (本小题满分16分)若存在实数x 0与正数a ，使x 0＋a ，x 0－a 均在函数f(x)的定义域内，且f(x 0＋a)＝f(x 0－a)成立，则称“函数f(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”．(1) 设f(x)＝x 3－3x 2＋2x －1，问是否存在正数a ，使“函数f(x)在x ＝1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由；(2) 设g(x)＝x ＋b x(x ＞0)，若对于任意x 0∈(3，4)，总存在正数a ，使得“函数g(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．解：(1) 由f(1＋a)＝f(1－a)，得(1＋a)3－3(1＋a)2＋2(1＋a)－1＝(1－a)3－3(1－a)2＋2(1－a)－1.(2分)即a(a ＋1)(a －1)＝0.(6分)∵ a ＞0，∴ a ＝1.(8分)(2) 令g(x)＝c ，得x ＋b x＝c ，即x 2－cx ＋b ＝0.(*)(10分) 由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0.∴ c ＞0，b ＞0，c 2－4b ＞0，c 2＝x 0.(14分) 则0＜b ＜x 20对一切x 0∈(3，4)均成立．∴ b 的取值范围是(0，9]．(16分)20. (本小题满分16分)已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．(1) 若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围. 解：(1) λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1.∴ S n ＝a n ＋1a n S n .(2分) ∵ a n ＞0，∴ S n ＞0.∴ a n ＋1＝a n .∵ a 1＝1，∴ a n ＝1.(4分)(2) ∵ S n ＋1＝a n ＋1a n S n＋(λ·3n ＋1)a n ＋1，a n ＞0， ∴ S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝λ·3n ＋1.(5分) 则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…，S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n≥2)． 相加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1.则S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n≥2)．上式对n ＝1也成立， ∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ∈N *)． ③(7分) ∴ S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1(n ∈N *)． ④④－③，得a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1－⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n . 即⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n)·a n .(9分) ∵ λ≥0，∴ λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0. ∵ a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立， ∴ λ·3n －32＋n ＜12⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n 对一切n ∈N *恒成立．即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立．(12分) 记b n ＝2n 3n ＋3，则 b n －b n ＋1＝2n3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝（4n －2）3n －6（3n ＋3）（3n ＋1＋3）. 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n≥2时，b n －b n ＋1＞0；∴ b 1＝b 2＝13是一切b n 中的最大项．(15分) 综上所述，λ的取值范围是λ＞13.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(5分)令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3. M 6β＝M 6(4α1－3α2) ＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.(10分)B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosα，y ＝2sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(10分)D. 解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，(5分) 由题设，得|a 2－2a|<3，解得a ∈(－1，3)．(10分) C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x －1＋a －(x －a)|＝|2a －1|.(8分)又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率； (2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则 P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)(2分) ＝C 45⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫1－231＋C 55(23)5(1－23)0＝112243.(4分) (2) 由题意ξ＝1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫133×23＝281， P(ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望Eξ＝1×23＋2×29＋3×227＋4×281＋5×181＝12181.(10分)23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n 2；当n 为奇数时，m ＝n －12.(1) 证明：当n ∈N *，n≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．(1) 证明：当n 为奇数时，n ＋1为偶数，n －1为偶数，∵ S n ＋1＝C 0n ＋1－C 1n ＋…＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12，S n ＝C 0n －C 1n －1＋…＋(－1)n －12Cn －12n ＋12，S n －1＝C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12，∴ S n ＋1－S n ＝(C 0n ＋1－C 0n )－(C 1n －C 1n －1)＋…＋(－1)n －12(C n ＋12－1n ＋12＋1－C n －12n ＋12)＋(－1)n ＋12C n ＋12n ＋12(2分)＝－[C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12]＝－S n －1.∴ 当n 为奇数时，S n ＋1＝S n －S n －1成立．(5分)同理可证，当n 为偶数时，S n ＋1＝S n －S n －1也成立．(6分)(2) 解：由S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，得 2 014S ＝C 02 014－2 0142 013C 12 013＋2 0142 012C 22 012－2 0142 011C 32 011＋…－2 0141 007C 1 0071 007＝C 02 014－⎝⎛⎭⎫C 12 013＋12 013C 12 013＋(C 22 012＋22 012C 22 012)－(C 32 011＋32 011C 32 011)＋…－⎝⎛⎭⎫C 1 0071 007＋1 0071 007C 1 0071 007 ＝(C 02 014－C 12 013＋C 22 012－…－C 1 0071 007)－(C 02 012－C 12 011＋C 22 010－…＋C 1 0061 006)＝S 2 014－S 2 012.(9分)又由S n ＋1＝S n －S n －1，得S n ＋6＝S n ，所以S 2 014－S 2 012＝S 4－S 2＝－1，S ＝－12 014.(10分)。