2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.1.若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π,则ω= 、2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之与为4的概率就是 . 3.若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈就是虚数单位)的形式,则a b += . 4.若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈,则AZ 中有 个元素、5.已知向量a 与b 的夹角为0120,||1,||3a b ==,则|5|a b -= .6.在平面直角坐标系xoy 中,设D 就是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 就是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投点在E 中的概率就是7.某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h ),随机选择了50位老人进行调查,下表就是这50位老人睡眠时间的频率分布表:在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值为 8.设直线b x y +=21就是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数b 的值就是9.如图,在平面直角坐标系xoy 中,设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ,点(0,)P p 在线段AO 上的一点(异于端点),这里p c b a ,,,均为非零实数,设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,,某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ,请您完成直线OF 的方程: ( )011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为11.设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值就是12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ,以O 为圆心,a 为半径作圆M ,若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭,作圆M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为13.满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值14.设函数3()31()f x ax x x R =-+∈,若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为二、解答题:本大题共6小题,共90分。
请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角αβ,,它们的终边分别交单位圆于A B ,两点.已知A B ,两点的横坐标分别就是10,5.(1)求tan()αβ+的值; (2)求2αβ+的值.12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………BC D EF B16.如图,在四面体ABCD 中,CB CD AD BD =⊥,,点E F ,分别就是AB BD ,的中点.求证: (1)直线//EF 面ACD 。
(2)平面EFC ⊥面BCD .17.如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ,B 及CD 的中点P 处.AB =20km,BC =10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A ,B 等距的一点O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO ,BO ,PO .记铺设管道的总长度为y km. (1)按下列要求建立函数关系式:(i)设BAO θ∠=(rad),将y 表示成θ的函数; (ii)设OP x =(km),将y 表示成x 的函数; (2)请您选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。
18.在平面直角坐标系xOy 中,记二次函数2()2f x x x b =++(x ∈R )与两坐标轴有 三个交点.经过三个交点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围; (2)求圆C 的方程;(3)问圆C 就是否经过定点(其坐标与b 的无关)?请证明您的结论.19.(1)设12,,,n a a a 就是各项均不为零的n (4n ≥)项等差数列,且公差0d ≠,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)就是等比数列.(i)当4n =时,求1a d的数值; (ii)求n 的所有可能值.(2)求证:对于给定的正整数n (4n ≥),存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ,,,n b ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.20.已知函数11()3x p f x -=,22()23x p f x -=⋅(12,,x R p p ∈为常数).函数()f x 定义为:对每个给定的实数x ,112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若(1)求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件(用12,p p 表示);(2)设,a b 就是两个实数,满足a b <,且12,(,)p p a b ∈.若()()f a f b =,求证:函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之与为2b a-(闭区间[,]m n 的长度定义为n m -) 数学附加题21:从A,B,C,D 四个中选做2个,每题10分,共20分 A.选修4—1 几何证明选讲如图,设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D .求证:2ED EB EC =.B.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤200 1对应的变换作用下得到曲线F ,求F 的方程.C.选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中,点()P x y ,就是椭圆2213x y +=上的一个动点,求S x y =+的最大值.D.选修4—5 不等式证明选讲 设a ,b ,c 为正实数,求证:333111a b c+++abc ≥22.【必做题】记动点P 就是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点,记11D PD Bλ=.B C ED A当APC ∠为钝角时,求λ的取值范围.23.【必做题】.请先阅读:在等式2cos 22cos 1x x =-(x ∈R )的两边求导,得:2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-,由求导法则,得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-,化简得等式:sin 22cos sin x x x =.(1)利用上题的想法(或其她方法),结合等式0122(1+x)=C C C C n n n n n n n x x x ++++ (x ∈R ,正整数2n ≥),证明:112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑. (2)对于正整数3n ≥,求证:(i)1(1)C 0nkknk k =-=∑; (ii)21(1)C 0nkk nk k =-=∑; (iii)11121C 11n nk n k k n +=-=++∑.2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考答案一、填空题1、10;2、112;3、1;4、6;5、7;6、16π; 7、6、42; 8、ln2-1;9、11c b -; 10、262n n -+; 11、3; 12、22;13、22; 14、4;2、【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数与为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故316612P ==⨯ 6、【解析】本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此.214416P ππ⨯==⨯7、【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=9、【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填11c b-.事实上,由截距式可得直线AB:1x y b a +=,直线CP:1x y c p += ,两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程.10、【解析】本小题考查归纳推理与等差数列求与公式.前n -1 行共有正整数1+2+…+(n -1)个,即22n n -个,因此第n 行第3 个数就是全体正整数中第22n n -+3个,即为262n n -+.11、【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由230x y z -+=得32x zy +=,代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=,当且仅当x =3z 时取“=”.12、【解析】设切线PA 、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 就是等腰直角三角形,故22a a c=,解得22c e a ==.13、【解析】设BC =x ,则AC =2x ,根据面积公式得:ABC S ∆=21sin 1cos 2AB BC B x B =-、根据余弦定理得:2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x+-+-==244xx -=,代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x+>+>⎪⎩解得22x <<,故当x =ABC S ∆最大值14、【解析】若x =0,则不论a 取何值,()f x ≥0显然成立;当x >0 即[]1,1x ∈-时,()331f x ax x =-+≥0可化为,2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-,则()()'4312x g x x -=, 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭,从而a ≥4; 当x <0 即[)1,0-时,()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-,()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增,因此()()ma 14n g x g =-=,从而a ≤4,综上a =4二、解答题15、(1)由已知条件即三角函数的定义可知cos ,cos 10αβ==因α为锐角,故sin0α>,从而sinα==同理可得 sin β==,因此1tan 7,tan 2αβ==、 所以tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯;(2)132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯, 30,0,02,222πππαβαβ<<<<<+<又故从而由 tan(2)1αβ+=- 得 324παβ+=、16、证明:(1)∵E,F 分别就是AB BD ,的中点.∴EF 就是△ABD 的中位线,∴E F ∥AD,∵E F ∥⊄面ACD,AD ⊂面ACD,∴直线E F ∥面ACD; (2)∵AD ⊥BD,E F ∥AD,∴E F ⊥BD,∵CB=CD,F 就是BD的中点,∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC, ∵B D ⊂面BCD,∴面EFC ⊥面BCD17、【解析】(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad) ,则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=,又OP =1010tan θ-, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-,所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ,则OQ =10-x ,所以=所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ (Ⅱ)选择函数模型①,()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=,因为04πθ<<,所以θ=6π,当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0y < ,y 就是θ的减函数;当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,'0y > ,y 就是θ的增函数,所以当θ=6π时,min 10y =+这时点P 位于线段AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离AB 边3km 处。