矩阵等价与向量组等价的关系
向量组等价
12
,,,
n
ααα
⋅⋅⋅和
12
,,,
n
βββ
⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()
1212
,,,,,,
n n
αααβββ
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
%
矩阵等价（必须含有相同的行数m，相同的列数n，即必为同型矩阵）
矩阵的等价与向量组的等价没有任何必然的联系！
如果两个n维向量组等价(说明矩阵有相同的行数),则以它们为列向量组成的矩阵A,B的秩相等,但是不一定等价,
因为这两个矩阵的列数可能不同.比如,一个3行1列的矩阵与一个
3行2列的矩阵根本谈不上等价与不等价.（如果A,B
的列数相同,则它们等价）例如向量组I：
1
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
与向量组II：
21
0,0
00
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
等价，但变为矩阵就不等价。

两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他们所含向量个数可以不一样的！！！
但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数！！！
如果矩阵A,B等价,则它们的行向量组与列向量组也未必等价.比如,4阶单位矩阵从中间划一竖线分成两个矩阵A,B,这两个矩阵是等价的,但是它们的列向量组不是等价的.
看一个具体的例子：
3131100100101010010010000100101A r r B c c C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u u u r u u u u u u r
矩阵A 经初等行变换化为矩阵B ，矩阵,A B 行等价，,A B 的行向量组等价，但列向量组不等价！
矩阵B 经初等列变换化为矩阵C ，矩阵,B C 列等价，,B C 的列向量组等价，但行向量组不等价！
矩阵A 经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵C ，矩阵A,C 等价，但他们的行、列向量组均不等价！ 所以，矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！
显然，两矩阵,A B 等价，不能推出他们的行向量组一定等价或者列向量组一定等价。

在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？
若矩阵A 经初等列变换成为矩阵B ，即存在可逆矩阵Q ，使AQ =B ，也可以写为 （α1，α2，…，αn ）Q =（β1，β2，…，βn ），此时可知B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，因为Q 为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ =B 两边右乘Q -1，有A =BQ -1
，故A 的列向量组可以由B 的列向量组线性表示。

此时可得A 的列向量组与B 的列向量组等价。

同理可知：若矩阵A 经初等行变换成为矩阵B ，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？
若m 维向量组A 与向量组B 均有n 个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A 与B 等价！（因向量组A 与向量组B 等价，所以它们有相同的秩，则以它们为列（行）向量组成的矩阵A,B 的秩相等，因向量组A 与B 作成的矩阵A 与B 有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A 与B 等价），要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n 个向量的两个m 维向量组A 与B ，才有可能讨论其对应的矩阵A 与B 是否等价。