第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲A 组 基础关1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2)，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞a )＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2答案 A解析 因为随机变量X ～N (5，σ2)，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3，∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1.∴D (2X －3)＝22D (X )＝4.4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2答案 C解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7，则P (ξ＜80或ξ＞120)＝1－P (80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3， ∴P (ξ＞120)＝12P (ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.则他的速度超过120的概率为0.15.5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)等于( )A.35B.815C.1415D ．1答案 A解析 ξ服从超几何分布P (ξ＝x )＝C x 3C 2－x7C 210(x ＝0,1,2)，则P (ξ＝0)＝C 27C 210＝2145＝715，P (ξ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115.故E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.故选A.6．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为45，35，25，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立．记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E (ξ)的值为( )A.39125B.9C.95 D ．1答案 C解析 ①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A 等级有以下三种情况：政、史；政、地；地、史，∴P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×25＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×25＋45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝58125. ②根据分布列的性质可得，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－6125－58125－24125＝37125. E (ξ)＝0×6125＋1×37125＋2×58125＋3×24125＝225125＝95，故选C. 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89 B.35 C.25 D.13答案 A解析 由于对称轴在y 轴左侧，故－b2a ＜0，故a ，b 同号，基本事件有3×3×7×2＝126，ξ的可能取值有0,1,2三种．P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，故期望值为0×13＋1×49＋2×29＝89，故选A. 8．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为：________． 答案 乙解析 甲、乙的均值分别为E (ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E (η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E (ξ)>E (η)， 故乙的技术较好．9．设平面上的动点P (1，y )的纵坐标y 等可能地取－22，－3，0，3，22，用ξ表示点P 到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案115解析 由题意，随机变量ξ的值分别为3,2,1，则随机变量ξ的分布列为所以随机变量ξE (ξ)＝15×1＋25×2＋25×3＝115.10．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________．答案 1解析 将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，所以E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14×4×124＝1.B 组 能力关1．(2018·浙江高考)设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D (ξ)先增大后减小答案 D解析 由分布列可知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，所以方差D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－p －122×1－p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －122×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p －122×p 2＝－p 2＋p ＋14，所以D (ξ)是关于p 的二次函数，开口向下，所以D (ξ)先增大后减小．2．(2018·潍坊二模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量2010103820 2若以这100则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A．a元B．0.958a元C．0.957a元D．0.956a元答案 D解析设X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由统计数据可知P(X＝0.9a)＝0.2，P(X＝0.8a)＝0.1，P(X＝0.7a)＝0.1，P(X＝a)＝0.38，P(X＝1.1a)＝0.2，P(X＝1.3a)＝0.02.所以X的分布列为X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3aP 0.20.10.10.380.20.02E(X)＝0.9a＋1.3a×0.02＝0.956a(元)．3．(2018·吉林三模)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90＜ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80＜ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)＝________.(结果用分数表示)附：X满足：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.答案13594772解析 由题意，P (A )＝0.4772，P (B )＝12×(0.9974－0.6826)＝0.1574，P (AB )＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.∴P (B |A )＝0.13590.4772＝13594772.4．(2018·惠州二模)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681.(2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.C 组 素养关1．(2017·全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A 型车B型车(1)是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)①试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及均值；②如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．解(1)这辆汽车是A型车的概率约为P＝3030＋20＝0.6，故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件A i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件B j表示一辆B 型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j＝1,2,3， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝5100×20100＋10100×20100＋30100×14100＝9125，故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9 125.(3)①设X为A型车出租的天数，则X的分布列为设Y为E(X) 3.62，E(Y)＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48.②一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理．2．(2018·安徽阜阳月考)从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2)．①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列及E (Y )．解 (1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)， 由(1)知P (X >60)＝14，∴P (X <54)＝14，∴P (54<X <60)＝1－2×14＝12，∴P (54<X <57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率是14.②因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，P (Y ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－i，i ＝0,1,2,3. ∴Y 的分布列为Y 0 1 2 3 P276427649641641 4＝3 4.E(Y)＝3×。