i n
g s
i n
t h
e
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
a b c 222c b a =+
2、如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
定 义
表达式取值范围关 系
正弦斜边的对边A A ∠=
sin c
a A =
sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)
余弦斜边的邻边A A ∠=cos c
b A =
cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)
B A cos sin =B
A sin cos =1
cos sin 22=+A A 正切
的邻边
的对边A tan ∠∠=A A b
a A =
tan 0tan >A (∠A 为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
30°
45°
60°
α
sin 2
1222
3αcos 232
22
1α
tan 3
31
3
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin 随的增大而增大，cos 随的增大而减小。
ααααα 7、正切、的增减性：
当0°<<90°时，tan 随的增大而增大，
ααα1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：
2
22c b a =+尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边
A
i n
i n
t h
d f
仰仰仰
:i h l
=h
l
α
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。
用字母表示，即。
坡度一般写成h l i h
i l
=
的形式，如等。
1:m 1:5
i =把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
αtan h
i l
α=
=3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
例1：已知在中，，则的值为（ ）
Rt ABC △3
90sin 5
C A ∠==°，tan B A ． B ． C ．
D ．
43455434
【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC 中，∠C=90°，则，sin a A c
=
和；由知，如果设，则，结合得；∴tan b B a =
222a b c +=3
sin 5A =3a x =5c x =222a b c +=4b x =，所以选A ．
44
tan 33
b x B a x ===例2：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+---=______．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+---=，故填．134122⎛⎫--= ⎪⎝⎭32
1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ C ）
A ．8米
B ．
C
D 米
2. 一架5
米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是，则梯子底端到墙的距离为（
B
40°
）
A．B．C．D．
5sin40°5cos40°
5
tan40°
5
cos40°
3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平
线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ B ）
A m B．4 m
C．m D．8 m
4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是（坡比是坡
面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ A ）
A．米 B． 10米
C．15米 D．米
5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ D ）
A．3 B．5 C．D．
2
5
2
2
5
6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，
两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为82.0 米（精确到
0.1）.）
1.414
≈ 1.732
7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的俯
A B
角为，看这栋大楼底部的俯角为，热气球的高度为240米，求这栋大楼的高度.
30°C60°A
解：过点作直线的垂线，垂足为点.
A BC D
则，，，=240米.
90
CDA
∠=°60
CAD
∠=°30
BAD
∠=°CD
D
在中，， Rt ACD △tan CD
CAD AD
∠
=
tan 60CD AD
∴=
==°在中，Rt ABD △tan BD BAD AD
∠=
，.tan 3080BD AD ∴===·°24080=160.∴BC CD BD =-=-答：这栋大楼的高为160米.
8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这
样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位．）
141.12=732.13=449.26=解：（1）在Rt△ABC 中，∠ABC=45°
∴AC=BC=AB·sin45°= 222
2
4=⨯
在Rt△ADC 中，∠ADC=30°
∴AD=
2421
2230sin =÷=o
AC ∴AD-AB=66
.1424≈-∴改善后滑滑板会加长约1.66米.
（2）这样改造能行，理由如下：
∵989.46233
2230
tan ≈=÷==
o
AC CD ∴07
.22262≈-=-=BC CD BD ∴6-2.07≈3.93＞3∴这样改造能行.
9．求值
1.解：原式= 1
01|2|20093tan 303-⎛⎫
-+--+ ⎪⎝⎭°2133++6=
10. 计算：
2.原式==0．0
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°
°2311-+-。