2三角函数知识点1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如 （ ）2 ( ) ( ) ，（1） 平方关系： 2 sincos 2 1,1tan22 sec,1 cot22csc（2） 倒数关系： sin csc =1,cossec =1,tan cot =1,（3） 商数关系：tansin ,cotcoscossin两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式 ：sin sin cos cos sin 令 sin22sin coscos cos cos m sin sin令cos22 cos21 1 2sin 2tan1mtan tan2 sin＝1 cos2tan22tan 1 tan 2（2） 三角函数次数的降升 （降幂公式：2 1 cos2 2 cos， sin1 cos22与升幂 2 2等）， 3、 2 cos ＝ 1+cos222costan tan sin2公式：1 cos2 2cos2，1 cos2 2sin 22(3) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sin 2 x cos 2 x tan 4 sin 2 L 等)，4)周期性 ：① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；② f( x) A sin( x )和 f ( x) A cos( x)的最小正周期都是T |2 |。

如 5 )单 调 性 ： y sin x 在2k , 2k 2 kZ 2上单 调递增， 在2k ,2k 3 k Z 单调递减； y cos x 在2k ,2 k kZ 上单调递减， 在2 22k ,2k 2 k Z 上单调递特别提别忘了 k Z ！(6) 、形如 y A sin( x ) 的函数：1 几个物理量 ： A ―振幅；f 1 ―频率(周期的倒数)； 相位； ―初相；2 函数 y A sin( x ) 表达式的确定 ：A 由最值确定； 期确 定 ； 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 如 f (x)Asin( x )(A 0,0，| | ) 的图象如图所示，23 函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：①“五点法”――设 X x ，令 X ＝0 ，, , ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法： 22这是作函数简图常用方法。

4 函数 y A sin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：①函数 y sin x 的图象 纵坐标不变，横坐标向左( >0 )或向右( <0 )平移 | | 个单位得 y sin x 的图 象； ②函数 y sin x 图 象的纵坐 标不 变， 横坐标变为原 来的 1 ，得到函数y sin x 的图象；③函数 y sin x 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 y A sin( x ) 的图象；④函数 y Asin( x ) 图象的横坐标不变，纵坐 标向上( k 0 )或向下( k 0 )，得到 y Asin x k 的图象。

要 特别注意 ，若由y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移 | | 个单位， 如1 )函数 y 2sin(2 x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象？(；22sec x tan x tan x cot x2sin(15x 2由周 则 f ( x)f ( x)(答： y 2sin(2 x ) 1 向上平移 1 个单位得 y 2sin(2 x ) 的图象，再向左平移 个单位得 y 2sin 2x 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 y 2sin x 的图象，最后将纵 81坐标缩小到原来的 1 即得 y sin x 的图象)；2★★2. 正、 余弦定理 ：在 ABC 中有 :①正弦定理： a bc 2R(R 为sin A sin B sin Ca 2R sin Ab 2Rsin Bc 2Rsin Csin B a2R 2R 注意变形应用c2R11S ABC abs sin Cacsin B 222ab 22c 2bc cosAb 2 2 a 2c 2accosB2 c 2 a b 2 2ab cosCcosA b 22 c 2 a2bccosB 2 a2 cb 22accosC 2 ab 22 c2abABC 外接圆半径)sin AsinC ②面积公③余弦定1bc sin A 2三角函数例题讲解分析 已知角的终边上点的坐标， 求角的三角函数值， 应联想到运用三角函数的定义解题， 由 P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程．mm 解 由题意知 r= 3 ＋m 2 ，则 sin θ= = ． r 3＋m 2当 m=0 时， cos θ= － 1 ， tan θ=0 ；θ θ θsin 2|= －sin 2 ，2是哪个象限的角 ?π 3 π解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+ 2<θ<2k π+ 2 ，k ∈Z ． π θ 3 π ∴k π+ < <k π+，k ∈Z ．4 2 4例 1 已知角的终边上一点 P （－ 3 ， m，且 sin θ=m ，求 cos θ与 tan θ的值．又∵sin θ=2 m ，4m 3＋m 22 m ．m ．4 当 m=5 时， cos θ=tan θ=15 当 m=例 2 设θ是第二象限角，且满足｜∴2是第象限或第三象限角．433θθ θθ又∵ ｜ sin － sin ， ∴sin < 0.∴ 是第三、第四象限的②22 2 2θ由①、②知， 2 是第三象限角．第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式 讲练平台】sin(2 π- α)tan( π+ α)cot(- α- π) 例 1 化简cos( π- α)tan(3 π- α)分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．( -sin α)tan α[-cot( α+ π) ] (-sin α)tan α(-cot α) 解 原式 = =(-cos α)tan( π- α) (-cos α)(-tan α)cos αsin α·sin α =1 cos α1 π π例2 若 sin θcos θ= ，θ∈( ， )，求 cos θ－sin θ的值．8 4 2分析 已知式为 sin θ、cos θ的二次式，欲求式为 sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，将 cos θ－sin θ进行平方．13 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1 － =44ππ∵θ∈( ， )，∴ cos θ<sin θ．42 ∴cos θ－sin θ=变式 1 条件同例， 求 cos θ+sin θ的值．变式 2 已知 cos θ－sin θ=求 sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．3=3例 3 已知 tan θ=3 ．求 cos 2 θ+sin θcos θ的值．分析 因为 cos 2θ+sin θcos θ是关于 sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成 tan θ的式子．cos 2θ+sin θcos θ 1+tan θ 2解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin 2θ = 1+tan 2θ=5第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一）11例 1 已知 sin α－sin β= － ， cos α－cos β= ，求 cos( α－β) 的值32分析 由于 cos( α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于 sin α、cos α、sin β、cos β的二 次式，而已知条件是关于 sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．13① 2 ＋② 2 ，得 2 － 2cos( α－β)= ．36 72∴cos( α－β)= 59 2cos10 °-sin20 °例 2 求 的值cos20 °分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到 10 °=30 °－20°，由于 30 °的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10 °=30 °－202cos(30 °-20 °)-sin20 °∴原式= cos20 °2(cos30 °cos20 °+sin30 °sin20 °)-sin20= cos20 °1sin α－sin β=31cos α－cos β=23 cos30 cos20点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例 3 已知： sin( α+ β)= － 2sin β．求证： tan α=3tan( α+ β) ．=3原式=sin123·cos12－3)1sin12 cos2433cos12 sin122 cos 243 sin 12 3cos12 2 sin 12 cos12 cos24 2 3( 1 sin 12 3 cos12 )221sin 484 3 sin(12 60 )sin48 4 3.分析已知式中含有角 2α+ β和β，而欲求式中含有角α和α +β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解∵2 α+ β=( α+ β)+ α，β=( α+ β) －α，∴sin [(α+ β)+ α]= －2sin [(α+ β)－α]．∴sin( α+ β)cos α+cos( α+ β)sin α= － 2sin( α+ β)cos α+2cos( α+ β)sin α．若 cos( α+ β)≠0 ， cos α≠0，则 3tan( α+ β)=tan α．点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α +β看成一个整体第 4 课两角和与两角差的三角函数(二)【讲练平台】例 1 求下列各式的值( 1)tan10 °＋tan50 °+ 3 tan10 °tan50 °；( 3 tan12 °-3 ) csc12 °(2) 4cos 2 12°-2 ．(1)解原式=tan(10 °+50 °)( 1－ tan10 °tan50 °)+ 3 tan10 °tan50 °= 32 )分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．2tanAtanB ）， asinx+bsinx= a 2 b 2 sin （x+ φ）的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变 换方法．第 5 课 三角函数的图象与性质（一）例1 （1）函数 y=lg （1 tanx ） 的定义域为 1 2sin x（2）若α、β为锐角， sin α<cos β，则α、β满足 （C ）分析 （1）函数的定义域为 1- tanx 0, （*） 1- 2sinx 0.的解集， 由于 y=tanx 的最小正周期为π，π 3 ππ π先求出 （－ ， ）上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为 {x ｜2k π－ <x<2k π+ ，2 2 2 6 5 π 5 π或2k π+ 6< x<2k π+ 4 ，k ∈Z}分析（ 2 ）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数，π用 y=sinx 在［ 0， 2 ］的单调性，便知答案为 C ．（1）求 f （x ）的单调增区间；2）求 f （x ） 图象的对称轴、对称中心． 分析 函数表达式较复杂，需先化简．5 1+cos2x 5 3 π 解 f(x)= sin2x － 5 3 × ＋ =5sin(2x － )． 2 2 2 3A ．α>βB ．α<βππC ．α+ β< Dα+> 22y=sinx 的最小正周期为 2π， 所以原函数的周期为2 π，应结合三角函数 y=tanx 和 y=sinx 的图象 点评 （ 1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)1－πcos β转化成 sin （ －例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx －53 cos 2x+532(x ∈R)k π2π+6，0）（k ∈Z ）．第 6 课 三角函数的图象与性质（二）x 所给曲线是由 y=3sin 2沿 x 轴向右平移 1π∴解析式为 y=3sin 2 （x －3）．1π（2） 设（ x ，y ）为 y=3sin （ x － ）关于直线 x=2 π对称的图像上的任意一点， 则该点关于直线 x=226 π1x －6）关于直线 x=2 π对称的函数解析式是 y=3sin [21 ）由 2k πππ－ ≤2x － ≤2k 2 π π+ 2，得［ k π 5 π π－ ，k π+ ]（k ∈Z ）为 f （x ） 的单调增区间．12 12 2 ）令 2x π =k 3ππ+2，得k 5 πx= 2π+12 （k ∈Z ），则x= k 5 π2π+12 （k ∈Z ）为函数 y=f （x ） 图象 的对称轴所在直线的方程， πk 令 2x －3 =k π，得 x=2 ππ+6k ∈ Z ），∴ y=f （x ） 图象的对称中心为点例2 右图为某三角函数图像的一段1） 试用 y=Asin （ω x+ 2） 求这个函数关于直线 13π解： 1）T==4 π．2π∴ω=T．又 A=3 ， 由图象可知π3而得到的． 1π的对称点应为（ 4π－x ，y ） ，故与 y=3sin （φ）型函数表示其解析式；x=2π对称的函数解析1π= －3sin（2 x＋6）．2sin ( x+ φ)．π π π例2 若θ∈［－ 12 , 12 ］，求函数 y=cos( 4+ θ)+sin2点评 y=sin （ ωx+ φ）（ω> 0）的图象由 y=sin ωx 的图象向左平移（φ> 0）或向右平移（φ<0）|ωφ|个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直ω线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．1 23 例 3 已知函数 y= cos 2x+ sinxcosx+1 (x ∈ R)．22（1）当 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；2 ）该函数图象可由 y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 1 1+cos2x解 (1)y= 23 1 1 π 5+ 2 ·2 sin2x +1= 2sin(2x+ 6)+ 4π 当 2x+ =2k 6πππ+ ，即 x=k π+ ，k ∈Z 时， y max = 26(2 )由 y=sinx π图象左移 个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的 纵坐标不变），其次1将图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 （横坐标不变），最后把图象向上平移5 个单位即可． 4第 7 课 三角函数的最值例 1 求函数 f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时 的值．分析 由于 f （x ）的表达式较复杂，需进行化简． 解 y=sin 2x+cos 2 x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= πsin(2x+ )+24ππ 当 2x+ 4=2k π+ 2 π 即 x=k π+ (k ∈ Z)时， y max =8点评 要熟练掌握 y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法， a sinx+bcosx=a 2+b 2θ的最小值．分析 在函数表达式中， 含有两个角和两个三角函数名称， 若能化成含有一个角和一个三 角函数名称的式子，则问题可得到简化．π π π π解 y=cos( + θ)－ cos [ 2( θ+ ) ] =cos( + θ)－[ 2cos 2(θ+ )－1]4 4 4 43∴y min = ， y max =3+ 2y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若ππ = － 2cos 2( θ+ )+cos( + θ)+1 = 44 －2 π 1 πcos 2(θ+ )－ cos( θ+ )] +14 2 4∵θ∈π1 cos( θ+ 4)－4] 9 2+8ππ －12, 12]，∴θ π ＋∈4 ππ， ］．1∴ ≤cos( θ+ ) π3 ≤2，∴y 最小值 =例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值．分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令 sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题． 解 令 t=sinx+cosx ，则 y=t+t 2+1=(t+ 2)2+ 4，且 t ∈[－ 2 ， 2］，点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成第8 课 解斜三角形例2在△ABC 中，已知 acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．b2+c 2—a2a2+c2—b2解方法一：由余弦定理，得a·( )=b ·( )，2bc 2ac∴a 2c 2－a 4－ b 2c 2+b 4=0 ．∴(a2－ b2)(c 2－a2－b2)=0 ．∴a2－b2=0 ，或 c2－a2－b2=0 ．∴a=b ，或 c2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二：由 acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ．∴2A=2B ，或 2A= π－2B ．π∴A=B ，或 A+B= ．2∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形1 ．设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ,a 2bsinA. (Ⅰ )求B 的大小 ;(Ⅱ)求cosA sinC 的取值范围 .1 【解析】 :(Ⅰ )由a 2b sin A,根据正弦定理得sinA 2sin Bsin A ,所以sin B ,2 π由ABC 为锐角三角形得 B .6(Ⅱ)cosA sinC cosA sin AcosA sin A61 3cosA cosA sin A2 23sin A.3。