第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。

在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。

如：（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。

即a G ∀∈，有00a a a +=+=。

（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。

即有()0a a a a -+=+-=。

利用负元可定义加群的减法运算：()a b a b-+-。

（3）()a a--=。

（4）a c b c b a+=⇔=-。

（5）(),()a b a b a b a b-+=----=-+（6）(00()()a a a n a nna nn a n+++⎧⎪==⎨⎪--⎩个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。

加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S⇔∀∈，有,a b a S+-∈,a b S⇔∀∈，有a b S-∈。

加群G的子群H的陪集表示为：a H H a+=+。

二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。

”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若1. R对于“+”作成一个加群。

2. R对于“。

”是封闭的。

3. ,,a b c R∀∈，有()()a bc ab c=，即乘法适合结合律。

4. ,,a b c R∀∈，有(),()a b c a b a c b c a b a c a+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。

则称R关于“+”与“。

”作成一个环。

由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。

例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。

分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。

例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n nP⨯关于矩阵的加法和乘法作成环。

例3 2{2|}=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数Z k k Z环。

问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？答：否。

因为关于加法不构成加群。

由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。

此外，环还有下列基本性质：（7）(),()-=--=-a b c ab ac b c a ba ca证明：由两个分配律以及负元的定义，有-+=-+=+-+=+-+=+=()[()][(()))][((()](0)a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab-+=-+=+-+=+-+=+=b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba()[()][(()))][((()](0)再由（4）得，(),()-=--=-。

a b c ab ac b c a ba ca（8）000==a a证明：0()0,0()0=-=-==-=-=a a a a aa aa a a a a aa aa（9）()()-=-=-a b a b ab证明：因为+-=+-==ab a b a a b b()(())00+-=+-==()(())00ab a b a b b a所以()()-=-=-。

a b a b ab（10）()()a b ab --=证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=（11）1212()n n a b b b ab ab ab +++=+++1212()n n b b b a b a b a b a +++=+++证明略（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b ++++=++++即111()()m n m ni j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。

证明略（13）()()()na b a nb n ab ==证明略（14）定义：n n a aa a = （n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简称n 次方或n 次幂）。

对任意正整数,m n 有,()m n m n m n mn a a a a a +==证明略由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。

§2 交换律、单位元、零因子、整环前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ⨯关于矩阵的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。

由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。

1、交换律因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R 里对,a b R ∀∈，未必有ab ba =。

如矩阵环n n P ⨯就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。

若环R 的乘法适合交换律（即,a b R ∀∈，有a b b a =），则称环R 为交换环。

当环R 是交换环时，,a b R ∀∈，,0n Z n ∀∈>，有()n n n ab a b =例 若环R 的每一个元素a 都适合2a a =，则称R 是布尔环。

证明，布尔环是交换环。

证明：,a b R ∀∈，有22,(2)()2a a b a b a +=+=，于是有222,42a a ab ba b a b a +++=+=，即,200a ab ba +==，即,()a ab ba b a a =-=-=-，所以ab ba =，故布尔环R 是交换环。

2、单位元在群论里。

我们已经看到了单位元的重要性。

在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。

事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z 就有乘法单位元1；数域P 上n 阶方阵环n n P ⨯也有乘法单位元，即单位矩阵E 。

但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z 就没有乘法单位元。

若环R 存在元素e ，使得a R ∀∈，有ea ae a ==，则称e 是R 的单位元。

此时环R 也叫做有单位元环。

一般地，一个环未必有单位元。

但如果有的话，一定是唯一的。

因为，若/,e e 都是环R 的单位元，则/e ee e ==。

例1（85P ）在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。

注意，这里的1不是普通的整数1.在有单位元的环R 里，和群一样，规定01()a a R =∀∈。

设R 是有单位元1的环，,a b R ∈，若1a b b a ==，则称()a b 是可逆元，()b a 是()a b 的一个逆元。

在有单位元的环R 里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z 是一个有单位元的环，但除了1±外，其它的整数都没有逆元。

又如在矩阵环n n P ⨯中非可逆矩阵就没有逆元。

但是如果a R ∈有逆元，则其逆元是唯一的。

因为，若a 有两个逆元b 和/b ，则////1()()1b b b ab ba b b b =====。

当a 是可逆元时，其唯一的逆元记作1a -。

并规定1()n n a a --= （n 是正整数）这样规定以后，当a 是可逆元时110()n n n aa a n a n a n --⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩ 是正整数是负整数公式,()m n m n m n mn a a a a a +==对任何整数,m n 都成立。

3、零因子前面在讨论环R 的运算性质时，曾有结论000a a ==，即当环R 中的两个元素,a b 中有一个是零元时，0ab =。

那么，反过来当0ab =时，是否也有0a =或0b =呢？结论是在一般的环里是不成立的。

例2（86P ） 在模n 剩余类集合{[0],[1],,[1]}n Z n =- 中，我们在第一章定义了加法和乘法：[][][],[][][]([],[])n a b a b a b ab a b Z +=+=∀∈ 并在第二章证明了n Z 关于加法构成加群。

又因为([][])[][][][()][()][][][]([][])a b c ab c ab c a bc a bc a b c ===== []([][])[][][()][][][][][][][]a b c a b c a b c ab ac ab ac a b a c +=+=+=+=+=+([][])[][][][()][][][][][][][]b c a b c a b c a ba ca ba ca b a c a +=+=+=+=+=+所以n Z 关于剩余类的加法和乘法构成一个环。

这个环叫做模n 剩余类环，它有单位元[1]。

当(1)n >不是素数时，(1,)n ab a b n =<<，则|,|n a n b //，于是在n Z中[][0],[][0]a b ≠≠，而[][][][0]a b ab == ，这里[0]是n Z 的零元素。

定义 若环R 中两个非零元,a b ，使得0ab =，则称a 是环R 的左零因子，b 是环R 的右零因子。

注：左，右零因子统称零因子。

若R 是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。

但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。

另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z 就没有零因子。

显然，,a b R ∀∈，由0ab =可推出0a =或0b =当且仅当环R 没有零因子。

例3 设[]n a Z ∈，则[]a 不是n Z 零因子⇔(,)1a n =。

证明：（⇐）因为(,)1a n =，所以存在,p q Z ∈，使得1pa qn +=。

[]n b Z ∀∈，若[][][0]a b =，则由pab qnb b +=，有[][][][][][][][][][0][][0][][0]b pab qnb p a b q n b p q b =+=+=+=，所以[]a 不是n Z 零因子。