数学分析专题研究试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。

3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点
0x 可导。

4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。

5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。

6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成
立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1
A f f
-
A. =
B. ≠
C. ⊃
D. ⊂
2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。

A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积
3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。

A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对
4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x
t
t f x F 0d )()(，则)(x F 在区
间[0，2]上（ ）。

A. 连续
B. 不连续
C. 可导
D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。

A. 0)(>''x f
B. 最小值唯一
C. 0)(<''x f
D. 最大值唯一
6．
x x
x f sin )(=
定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数
A. 有界
B. 无界
C. 周期
D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．已知2
cos tan )(x x f =，求)(x f '
2．求定积分
⎰20
d cos π
x
x x
3．已知34)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f 。

4．求30
sin lim
x x x x -→
四、证明题（每小题8分，共32分）
1．设数列{n a }满足n a >0且1lim <=∞→r a n n n ，则级数∑∞
=1n n a 收敛
2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。

则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。

3．已知
2,0,0π
=
+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x
4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则
⎰
>b
a
x x f 0
d )(。

模拟试卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．等价关系
2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<
0x
3．x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
4．)()()(y f x f xy f += 5．线性
6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．解：
x x x x f 2sin )(cos cos 1
)(22
2⋅⋅=
'
12
cos 2
d sin 2
d sin sin d cos .220
20
20
2020
-=
+=
-=-=⎰⎰⎰π
π
π
π
π
π
π
π
x
x x x x x
x x x x 解
3．解 34)1(2
+-=+x x x f 8)1(6)
1(2
++-+=x x
故
86)(2
+-=x x x f 4．解
2030
3c o s 1lim sin lim
x x
x x x x x -=-→→
=x x x x x x x 2sin lim
31cos lim 31020
→→=-
61sin lim 610==
→x x x
四、证明题（每小题8分，共32分）
1． 证明：因1
lim <=∞
→r a n n n ，故存在N ，当N n ≥时，
1210<+=
≤r
r a n
n
2． 即N n ≥时，有n
n r a 0
< （4分） 因为级数∑∞
+=1
N n n r
收敛。

故有∑∑∑∞
+==∞
=+
=1
1
1
N n n
N
n n n n
a
a a。

因∑∞
+=1
N n n
a
收敛（7分），故∑∞
=1
n n
a
收敛。

2．证明：已知f(x)在（a,b ）内存在二阶导数，故f ′(x)在（a,b ）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1c a ∈ξ，使得
)
()()(1>--=
'c a c f a f f ξ
存在),(2b c ∈ξ，使得
)
()()(2<--=
'c b c f b f f ξ
故存在),(21ξξξ∈，使得
)
()()(1
212<-'-'=
''ξξξξξf f f
3．证明：已知x x f sin )(=在
]
2,0[π
上是上凸函数（2分），故对于)
1,0(21
),2,0(,∈∈πy x 有
)
s i n (s i n 21
2s i n y x y x +≥+
故
24sin 22sin
2sin sin ==+≤+π
y x y x
4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，故存在0>δ，使得
),(),(00b a x x ⊂+-δδ且当),(00δδ+-∈x x x 时，
)(21
)(0x f x f ≥
（4分），因f(x)非
负，故
⎰
⎰
⎰
⎰
++--++=b
x x x x a b
a
dx
x f dx x f dx x f dx x f δ
δ
δ
δ
0000)()()()(
0)(2)(21
)(0000>=⋅≥
≥⎰
+-δδδ
δ
x f x f dx x f x x。