2018中科大数学分析试题
2. 设 Φ(x) 为周期为 1 的黎曼函数. (1) 求 Φ(x) 的连续点和间断点的类型; ∫ 1 Φ(x)dx. (2) 计算积分
0
→ → 3. 已知 Ω 为 R3 中的有界域,− n 为单位向量, 求证: 存在以 − n 为法向量的平面平分 Ω 的体积. 4. 已知 f (x) 为周期等于 2π 的奇函数, 当 x ∈ (0, π ) 时,f (x) = −1. 试利用 f 的 F ourier 级数计算
考试科目:数学分析
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(2) 当 △u = 0, ∀(x, y ) ∈ B, 证明: (3) 证明:u(0) = 1 2πr ∫
∂Br
d( 1 dr 2πr
∫
∂Br
) u(x, y )dS = 0, ∀r ∈ (0, 1)
u(x, y )dS. ∫
2−t (
10. 已知 u(x, t) 具有二阶连读偏导, 且满足 utt (x, t) = uxx (x, t), 记 F (t) =
t
) 2 u2 t (x, t) + ux (x, t) dx,
dF (t) ≤ 0. 证明: dt
考试科目(x) ∈ C [0, 1], u(x) ∈ C 2 (0, 1), u′′ (x) ≥ 0, 令 v (x) = u(x) + εx2 , ε > 0. (1) 证明:v (x) 为 (0, 1) 上的严格凸函数; (2) 证明:u(x) 的最大值于端点处取得. } { ∂ 2 u ∂u2 9. 已知 Br = (x, y ) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ r2 , B = B1 , u(x, y ) ∈ C (B ) ∩ C 2 (B ), △u = + 2 ∂x2 ∂y (1) 当 △u ≥ 0.∀(x, y ) ∈ B, 证明:u(x, y ) 在 B 上的最大值于边界 ∂B 上达到;
∞ ∑
1 ( )2 n=1 2n − 1
( ) 5. 设 φ(x) 为有势场 F (x, y, z ) = x2 − y, y 2 − x, −z 2 下的势函数, 求三重积分 ∫∫∫ φ(x, y, z )dxdydz,
Ω
其中Ω为x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
6. 已知 f ∈ C 2 [0, 1], f (0) = f (1) = 0, 且 f (x) 在 x0 处取得最小值 −1, (1) 求 f (x) 在 x = x0 处的 Lagrange 余项的 T aylor 展开式; ( ) (2) 证明: 存在 ξ ∈ (0, 1) 使得 f ′′ ξ = 8 } { 7. 已知 Dt = (x, y ) ∈ R2 (x − t)2 + (y − t)2 ≤ 1, y ≥ t , f (t) = ∫ ∫ √ x2 + y 2 dxdy, 计算 f ′ (0)
中国科学技术大学
2018 年硕士学位研究生入学考试试题 数学分析
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所有试题答案写在答题纸上,答案写在试卷上无效 ¥ ¦ □需使用计算器 1. (1) 求极限 lim x
x→−∞ arctan x+ π 2
√
不使用计算器
;
∞ ∑ sin(ak x) k=1
(2) 已知 ak 为正数数列, 且
k2
( ) ≤ tan x .x ∈ (−1, 1) 证明: ak = o k 2 , k → +∞.