π 1 解：(1)f(0)＝2sin－6＝2×－2＝－1.
(2)由
π 10 f3α＋2＝13，即
10 2sin α＝13，
5 所以 sin α＝13. π 6 6 由 f(3β＋2π)＝5，得 2sinβ＋2＝5，
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6 即 2cos β＝5， 3 所以 cos β＝5.
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6．选D 由题意可得 a>b>c，且为连续正整数，设 c＝n，b＝n＋ 1， a＝n＋2(n>1， n∈N*)， 且 则由余弦定理可得 3(n＋1)＝20(n n＋12＋n2－n＋22 ＋2)· ，化简得 7n2－13n－60＝0，n∈N*， 2nn＋1 解得 n＝4，由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝ 6∶5∶4. 7．解析：代入余弦定理公式得： b ＝4＋(7－b)
2 5 5 ∴ OA ＝－ ，－ 5 . 5
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2 2 (2)∵cos(β－π)＝ 10 ，∴cos β＝－ 10 ， 又∵0<β<π， 7 2 π ∴sin β＝ 10 ，且2<β<π. 又∵sin 2α＝2sin αcos
2
α＝2×－
5 2 5 4 ×－ ＝5， 5 5
2
又
π α∈0，2，所以
π α＝4，tan b＝bcos C－(2a－c)cos B＝0，利用正弦 定理，可得 sin Bcos C－(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C－ 2sin Acos B＝0，即 sin(B＋C)＝sin A＝2sin Acos B，故 cos B 1 π ＝2，因此 B＝3.
π ∵α，β∈0，2，
12 ∴cos α＝ 1－sin α＝13，
2
4 sin β＝ 1－cos2β＝5. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 5 3 12 4 63 ＝13×5＋13×5＝65.
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例 2： 思路点拨： (1)由题设以及正弦定理得到关于 A 的三角函数 值，进而求得 A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到 b 与 c 的方程组，进而求得 b 与 c 的值．
∴tan(α－2β) 3 4 －4－－3 tan α－tan 2β ＝ ＝ 3 4 1＋tan αtan 2β 1＋－4×－3 7 ＝24.
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4．选C
sin30° ＋17° －sin 17° 30° cos 原式＝ cos 17°
sin 30° 17° cos ＋cos 30° 17° sin －sin 17° 30° cos ＝ cos 17° sin 30° 17° 1 cos ＝ cos 17° ＝2.
1 32 ＝400 t －4 ＋675，
1 1 1 由于 0<t≤2，即 t ≥2，所以当 t ＝2 时，v 取得最小值 10 13，即 小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时．
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400 600 1 (3)由(2)知 v ＝ t2 － t ＋900，令 t ＝μ(μ>0)，
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π 又 0＜A＜π，故 A＝3. 1 (2)△ABC 的面积 S＝2bcsin A＝ 3，故 bc＝4. 而 a2＝b2＋c2－2bccos A，故 b2＋c2＝8. 解得 b＝c＝2.
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例 3：思路点拨：第(1)步设相遇时小艇航行的距离为 S，利用余 弦定理把 S 表示为关于 t 的函数， 利用二次函数求解 S 的最小值， 并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出 v，t 的关系式， 并利用函数知识求解； 第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问 题． 解：(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里，则
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3．解：(1)∵f(x)＝2cos 2－ 3sin x ＝1＋cos x－ 3sin
π x＝1＋2cosx＋3，
2x
∴周期 T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．
π 1 (2)∵fα－3＝3，
1 1 ∴1＋2cos α＝3，即 cos α＝－3.
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2 2 ∵α 为第二象限角，∴sin α＝ 3 . cos2α－sin2α cos 2α ∴ ＝ 1＋cos 2α－sin 2α 2cos2α－2sin αcos α 1 2 2 cos α＋sin α －3＋ 3 1－2 2 ＝ 2cos α ＝ 2 ＝ 2 . －3
π 答案：2
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6．解：(1)由 3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C， 得 3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1， 1 即 cos(B＋C)＝－3， 1 从而 cos A＝－cos(B＋C)＝3. 1 2 2 (2)由于 0<A<π，cos A＝3，所以 sin A＝ 3 . 1 又 S△ABC＝2 2，即2bcsin A＝2 2，解得 bc＝6. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 b2＋c2＝13.
答案：4
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2 2
1 －2×2×(7－b)－4，解得
b＝4.
8．解析：因为 cos
2
π 1 α＋sin2＋2α＝2，即
1 cos α＋cos 2α＝2，
2
1 所以 cos α＋2cos α－1＝2.
2 2
3 2 整理得 3cos α＝2，所以 cos α＝ 2 (因 α 为锐角，所以取正)．
考点例题
第 一 阶 段
专 题 二
第 二 节
冲关集训 高考预测
课时检测（八）
第一阶段 二轮专题复习
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专题二 三角函数与平面向量
第二节 三角变换与解三角形
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考点例题
例 1：思路点拨：(1)可以直接代入求值． (2)首先要化简条件得 sin α，cos β，然后用和角公式 sin(α＋β)计 算．
3 π π α＝ 2 .即 α＝3， 所以 tan α＝tan3＝ 3.
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π 3 3．选 D ∵sin α＝5，α∈2，π， 4 3 ∴cos α＝－5，∴tan α＝－4. 1 1 又∵tan(π－β)＝2，∴tan β＝－2， 2tan β 4 ∴tan 2β＝ ＝－3， 1－tan2β
2
于是有 400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行 方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，
6002－1 600900－v2>0， 所以 900－v2>0，
解得：15 3<v<30，所以 v 的取值范围为(15 3，30)．
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冲关集训 1 1． D 依题意得， α＝2， 选 tan －3tan β＝1， tan β＝－3， 即 tan(α 1 tan α＋tan β 2－3 ＋β)＝ ＝ 2＝1. 1－tan αtan β 1＋3
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(2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： 1 1 易知 S△ABD＝2AD· BDsin D，S△ABC＝2AC· BCsin C， 因为 AD· BD>AC· BC，且∠C＝∠D，所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低． 因为 AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D＝∠C ＝60° . 1 故 S△ABC＝2AC· BCsin C＝10 3， 所以所求的最低造价为 5 000×10 3＝50 000 3≈86 600 元．
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4．选 A
由 C＝2B 得 sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理
sin C c 4 及 8b＝5c 得 cos B＝2sin B＝2b＝5， 所以 cos C＝cos 2B＝2cos2
42 7 －1＝ . B－1＝2× 5 25
π 3sin 3 bsin ∠A 1 5．解析：由正弦定理可知 sin ∠B＝ ＝ 3 ＝2，所 a π 5π π π π 以∠B＝6或 6 (舍去)， 所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－3－6＝ 2.
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高考预测
解：(1)∵ OA ＝(cos α，sin α)， ∴ OA －n＝(cos α，sin α＋ 5)， ∵m⊥( OA －n)，∴m·OA －n)＝0， (
即 2cos α＋(sin α＋ 5)＝0，① 又 sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得 2 5 5 cos α＝－ 5 ，sin α＝－ 5 ，
答案：10 6
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8．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＋BC2－AB2 82＋52－AB2 cos C＝ ＝ ，① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中，由余弦定理得 AD2＋BD2－AB2 72＋72－AB2 cos D＝ ＝ ，② 2AD· BD 2×7×7 由∠C＝∠D 得 cos C＝cos D，③ 解得 AB＝7，所以 AB 的长度为 7 米．
S＝ 900t2＋400－2· 20· 30t· cos90° －30° ＝ 900t －600t＋400＝
2
12 900t－3 ＋300，
1 故当 t＝3时，Smin＝10 3，v＝30 3，即小艇以每小时 30 3海里 的速度航行，相遇时距离最小．
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(2)若轮船与小艇在 B 处相遇，由题意可得： (vt)2＝202＋(30t)2－2· (30t)· 20· cos(90° －30° )， 400 600 化简得 v2＝ t2 － t ＋900
解：(1)由 acos C＋ 3asin C－b－c＝0 得 sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为 B＝π－A－C， 所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于 sin C≠0，所以
π 1 sinA－6＝2.