行列式的计算及应用
毕晟 100220120 数字印刷一班
【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。

【关键字】行列式
引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。

一． 行列式的计算
1. 定义法
根据定义公式解行列式。

例如：
二阶行列式中
2
521 = 85221-=⨯-⨯ 三阶行列式中
4
213212
51=215644158531132221221135421=---++=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2.化成三角形行列式法
例求D ＝3 1 1 1的值
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1
1 3 1 1 6 3 1 1
1 1 3 1 6 1 3 1
1 1 1 3 6 1 1 3
=1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
=1 1 1 1=48
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
3. 分解行列法
若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列
式分解成两个行列式的和．
4.分离线性因子法
此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换
它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。

5. 递推关系式法
此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。

所得到的等式为递推关系式。

在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。

更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。

6.拆分法
可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。

但计算量较大。

二． 行列式的应用
2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应
用的条件）
2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用
2．3 非奇异矩阵的判别
2．4 计算矩阵的秩。

求行列式的值
下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明：
用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程
例如2.1： 5
26421
43321321321=++=++=++x x x x x x x x x
于是可以用行列式表示：
D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5
112421
433=D
所以 D D x 11= D D x 22= D
D x 33=
2.4 A=0
141114
21
我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0
002102
01
则 R （A ）=2
三． 总结
行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。

参考文献
【1】同济版高等数学4
【2】韩宝燕行列式计算方法和应用。