又︱AF1︱=3︱AF2︱，
∴ AF1 AF2 2 AF2 2a 即 AF2 a ， ∴ AF1 2 AF2 2 9 AF2 2 AF2 2 10 AF2 2 10a2 4c2 ，
∴ c 10 10 即 e 10 。
a42
2
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方
d1
b(a 1) a2 b2
，
同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 d2
b(a 1) a2 b2
，
s d1 d2
2ab 2ab 。 a2 b2 c
由 s≥ 4 c ，得 2ab ≥ 4 c ，即 5a c2 a2 2c2 。
5
c5
于是得 5 e2 1 2e2 ，即 4e4 25e2 25 0 。
高中数学双曲线抛物线 知识点总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
双曲线
平面内到两个定点 , 的距离之差的绝对值是常数 2a(2a< )的点的轨迹。
方程 简图
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
范围 顶点 焦点 渐近线
解不等式，得 5 e2 5 。由于 e＞1＞0，所以 e 的取值范围是 5 e 5 。
4
2
【例
3】设
F1、F2 分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1的左、右焦点，若双曲线上存在点
A，使 F1AF2 90 ，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
解：∵ F1AF2 90 ∴ AF1 2 AF2 2 4c2
（3） 与双曲线 x2 y2 1有公共渐进线，且经过点 A 3, 2 3 。 9 16
2
解：（1）设双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1或
y2 a2
x2 b2
1
(a
0,b 0) 。
由题意知，2b=12， e c = 5 。 a4
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为 x2 36 1或 y2 x2 1。
5
依题意得 2
(1 k 2 )(2 k 2 ) (1 k 2 )2
6
3 ，整理后得 28k4 55k2 25 0 ，
∴k2 5 或k2 5 。
7
4
但 2 k 1，
∴k 5 。 2
故直线 AB 的方程为 5 x y 1 0 。 2
（3）设 C(xc , yc ) ，由已知 OA OB mOC ，得 (x1 , y1) (x2, y 2) (mxc , myc ) ，
程组成方程组，即
Ax b2 x2
By a
C 2 y2
0 a2b2
，对解的个数进行讨论，但必须注意直线
与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
4
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
l
1 k 2 • x2 x1
1
1 k2
•
y2
y1
【例 4】如图，已知两定点 F1( 2,0), F2( 2,0) ，满足条件 PF2 PF1 2 的点 P
64
64 36
（2）∵双曲线经过点 M（0，12），
∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a=12。
又 2c=26，∴c=13。∴ b2 c2 a2 144 。
∴标准方程为
y2
x2
1。
144 25
（3）设双曲线的方程为
x2 a2
y2 b2
A 3, 2 3 在双曲线上
离心率
对称轴
准线方程 a、b、c 的
关系
x a或x a, y R a, 0)
(c, 0)
ybx a
e c (e 1) a
关于 x 轴、y 轴及原点对称
y a或y a, x R (0, a) (0, c)
yax b
e c (e 1) a
关于 x 轴、y 轴及原点对称
x a2 c
c2 a2 b2
y a2 c
考点
题型一 求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程
y
n m
x 的双曲线方程可设为
x2 m2
y2 n2
(
0)
，与双曲
线 x2 a2
y2 b2
1
共渐近线的方程可设为
x2 a2
y2 b2
(
0) 。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例 1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为 12，离心率为 5 ； 4 （2） 焦距为 26，且经过点 M（0，12）；
(2k)2 8(1 k 2 ) 0,
x1
x2
2k 1 k2
0,
解得 2 k 1。
x1
x2
2 1 k2
0.
又∵ AB 1 k 2 • x1 x2 1 k 2 • (x1 x2 )2 4x1x2
1 k2 •
2k
( 1
k
2
)
4
1
2 k
2
2
(1 k 2 )(2 k 2 ) (1 k 2 )2
2
∴ 32 2 3 1 得 1
9 16
4
所以双曲线方程为 4x2 y2 1 94
题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是 e、
a、b、c 四者的关系，构造出 e c 和 c2 a2 b2 的关系式。 a
【例
2】双曲线
x2 a2
y2 b2
且 c 2 ，a=1，易知 b c2 a2 1。
故直线 E 的方程为 x2 y2 1(x 0) ，
(2)设 A(x1,y1) , B(x2 ,y2 ) ,
由题意建立方程组
y=kx-1 x2 -y2 =1
消去
y，得
(1
k
2
)x2
2kx
2
0
。
又已知直线与双曲线左支交于两点 A、B，有
1 k 2 0,
1(a
0, b
0) 的焦距为
2c，直线
l 过点（a，0）和
（0，b），且点（1，0）到直线 l 的距离与点（-1，0）到直线 l 的距离之和 s≥
4 c 。求双曲线的离心率 e 的取值范围。 5 解：直线 l 的方程为 x y 1，级 bx+ay-ab=0。
ab
3
由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（1，0）到直线 l 的距离
的轨迹是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点，如果 AB 6 3 ，且
y
曲线 E 上存在点 C，使 OA OB mOC ，求
A
（1）曲线 E 的方程；
C
（2）直线 AB 的方程； （3）m 的值和△ABC 的面积 S。
B
O
x
解：由双曲线的定义可知，
曲线 E 是以 F1( 2,0), F2( 2,0) 为焦点的双曲线的左支，