1.对数的概念 如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做__________________,记作____________,其中a 叫做__________,N 叫做______.2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________,以e 为底的对数叫做____________,log 10N 可简记为______,log e N 简记为________. 3.对数与指数的关系若a >0,且a ≠1,则a x =N ⇔log a N =____.对数恒等式:a log a N =____;log a a x =____(a >0,且a ≠1). 4.对数的性质(1)1的对数为____; (2)底的对数为____; (3)零和负数__________.1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .42.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =100;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是( )A .①③B .②④C .①②D .③④ 3.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值围是( )A .a >5或a <2B .2<a <5C .2<a <3或3<a <5D .3<a <44.方程3log 2x=14的解是( )A .x =19B .x =33 C .x = 3 D .x =95.若log a 5b =c ,则下列关系式中正确的是( ) A .b =a 5c B .b 5=a c C .b =5a c D .b =c 5a6.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A .6 B.72 C .8 D.377.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么12x -=________.8.若log 2(log x 9)=1,则x =________.9.已知lg a =2.431 0,lg b =1.431 0,则b a=________. 10.(1)将下列指数式写成对数式:①10-3=11 000;②0.53=0.125;③(2-1)-1=2+1.(2)将下列对数式写成指数式:①log 26=2.585 0;②log 30.8=-0.203 1; ③lg 3=0.477 1.11.已知log a x =4,log a y =5,求A =121232x xy -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值.能力提升12.若log a 3=m ,log a 5=n ,则a 2m +n 的值是( )A .15B .75C .45D .225 13.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值:①log 2x =-25;②log x 3=-13.(2)已知6a =8,试用a 表示下列各式:①log 68;②log 62;③log 26.1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b=N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2) log a Na =N .2.在关系式a x =N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算;而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运 算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化1.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (M ·N )=____________________;(2)log a MN=____________________;(3)log a M n =__________(n ∈R ).2.对数换底公式log a b =log c b log c a (a >0,且a ≠1,b >0,c >0,且c ≠1);特别地:log a b ·log b a =____(a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1).一、选择题1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A .log a x ·log a y =log a (x +y ) B .(log a x )n =n log a x C.log a x n=log a n xD.log a x log a y=log a x -log a y 2.计算:log 916·log 881的值为( )A .18 B.118 C.83 D.383.若log 513·log 36·log 6x =2,则x 等于( )A .9 B.19 C .25 D.1254.已知3a =5b =A ,若1a +1b=2,则A 等于( )A .15 B.15 C .±15 D .2255.已知log 89=a ,log 25=b ,则lg 3等于( )A.a b -1B.32(b -1)C.3a 2(b +1)D.3(a -1)2b6.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则(lg ab)2的值等于( ) A .2 B.12 C .4 D.147.2log 510+log 50.25+(325-125)÷425=_____________________________________. 8.(lg 5)2+lg 2·l g 50=________.9.2008年5月12日,汶川发生里氏8.0级特震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M =23lg E -3.2,其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹. 三、解答题10.(1)计算:lg 12-lg 58+lg 12.5-log 89·log 34;(2)已知3a =4b =36,求2a +1b的值.11.若a 、b 是方程2(lg x )2-lg x 4+1=0的两个实根,求lg(ab )·(log a b +log b a )的值.能力提升12.下列给出了x 与10x 的七组近似对应值:A .二B .四C .五D .七13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的13?(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)1.在运算过程中避免出现以下错误: log a (MN )=log a M ·log a N .log a M N =log a M log a N.log a N n =(log a N )n .log a M ±log a N =log a (M ±N ).2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b =log c b log c a (a >0且a ≠1,c >0且c ≠1,b >0).由对数换底公式又可得到两个重要结论: (1)log a b ·log b a =1;(2) log n ma b =mnlog a b .3.对于同底的对数的化简常用方法:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).对于常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题.1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是________.2.对数函数的图象与性质定义 y =log a x (a >0,且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1图象定义域 ________ 值域 ________单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数共点性 图象过点________,即log a 1=0函数值 特点 x ∈(0,1)时, y ∈________; x ∈[1,+∞)时, y ∈________ x ∈(0,1)时, y ∈________; x ∈[1,+∞)时, y ∈________ 对称性函数y =log a x 与y =1log ax 的图象关于____对称3.反函数对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)和指数函数__________________互为反函数. 1.函数y =log 2x -2的定义域是( )A .(3,+∞)B .[3,+∞)C .(4,+∞)D .[4,+∞)2.设集合M ={y |y =(12)x ,x ∈[0,+∞)},N ={y |y =log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A .(-∞,0)∪[1,+∞)B .[0,+∞)C .(-∞,1]D .(-∞,0)∪(0,1) 3.已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (α)=1,则α等于( )A .0B .1C .2D .3 4.函数f (x )=|log 3x |的图象是( )5.已知对数函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且过点(9,2),f (x )的反函数记为y =g (x ),则g (x )的解析式是( ) A .g (x )=4x B .g (x )=2x C .g (x )=9x D .g (x )=3x6.若log a 23<1,则a 的取值围是( )A .(0,23)B .(23,+∞)C .(23,1)D .(0,23)∪(1,+∞)7.如果函数f (x )=(3-a )x ,g (x )=log a x 的增减性相同,则a 的取值围是______________. 8.已知函数y =log a (x -3)-1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________. 9.给出函数则f (log 23)=________. 三、解答题10.求下列函数的定义域与值域: (1)y =log 2(x -2); (2)y =log 4(x 2+8).11.已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1-x ),(a >0,且a ≠1). (1)设a =2,函数f (x )的定义域为[3,63],求函数f (x )的最值. (2)求使f (x )-g (x )>0的x 的取值围.能力提升12.已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是函数y =log a 1x ,y =log a 2x ,y =log a 3x ,y =log a 4x 的图象,则a 1,a 2,a 3,a 4的大小关系是( )A .a 4<a 3<a 2<a 1B .a 3<a 4<a 1<a 2C .a 2<a 1<a 3<a 4D .a 3<a 4<a 2<a 113.若不等式x 2-log m x <0在(0,12)恒成立,数m 的取值围.1.函数y =log m x 与y =log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系.当0<n <m <1时,如图①;当1<n <m 时,如图②;当0<m <1<n 时,如图③.2.由于指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)的定义域是R ,值域为(0,+∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R ,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数y =a x 的图象过(0,1)点,故对数函数图象必过(1,0)点.1.函数y =log a x 的图象如图所示,则实数a 的可能取值是( )A .5 B.15C.1eD.12 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x 2和y =(x )2 B .|y |=|x |和y 3=x 3 C .y =log a x 2和y =2log a x D .y =x 和y =log a a x3.若函数y =f (x )的定义域是[2,4],则y =f (12log x )的定义域是( )A .[12,1] B .[4,16]C .[116,14] D .[2,4]4.函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .(1,+∞)D .[1,+∞)5.函数f (x )=log a (x +b )(a >0且a ≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则f (2)=________. 6.函数y =log a (x -2)+1(a >0且a ≠1)恒过定点____________.一、选择题1.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c2.已知函数y =f (2x )的定义域为[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域为( )A .[-1,1]B .[12,2]C .[1,2]D .[2,4]3.函数f (x )=log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)=3,则有( ) A .f (2)>f (-2) B .f (1)>f (2) C .f (-3)>f (-2) D .f (-3)>f (-4)4.函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.14 B.12 C .2 D .4 5.已知函数f (x )=lg 1-x 1+x ,若f (a )=b ,则f (-a )等于( )A .bB .-b C.1b D .-1b6.函数y =3x (-1≤x <0)的反函数是( ) A .y =13log x (x >0)B .y =log 3x (x >0)C .y =log 3x (13≤x <1)D .y =13log x (13≤x <1)7.函数f (x )=lg(2x -b ),若x ≥1时,f (x )≥0恒成立,则b 应满足的条件是________. 8.函数y =log a x 当x >2时恒有|y |>1,则a 的取值围是______________. 9.若log a 2<2,则实数a 的取值围是______________.10.已知f (x )=log a (3-ax )在x ∈[0,2]上单调递减,求a 的取值围.11.已知函数f (x )=121log 1axx --的图象关于原点对称,其中a 为常数. (1)求a 的值;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+12log (1)x -<m 恒成立.数m 的取值围.能力提升12.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 010)=8,则f (x 21)+f (x 22)+…+f (x 22 010)的值等于( ) A .4 B .8C .16D .2log 48 13.已知log m 4<log n 4,比较m 与n 的大小.1.在对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)中,底数a 对其图象的影响无论a 取何值,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a 的逐渐增大,y =log a x (a >1,且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当0<a <1时函数单调递减,当a >1时函数单调递增.2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由“底”的围决定,若“底”的围不明确,则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.1.已知m =0.95.1,n =5.10.9,p =log 0.95.1,则这三个数的大小关系是( ) A .m <n <p B .m <p <nC .p <m <nD .p <n <m 2.已知0<a <1,log a m <log a n <0,则( )A .1<n <mB .1<m <nC .m <n <1D .n <m <13.函数y =x -1+1lg(2-x )的定义域是( )A .(1,2)B .[1,4]C .[1,2)D .(1,2]4.给定函数①y =12x ,②y =()12log 1x +,③y =|x -1|,④y =2x +1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A .①②B .②③C .③④D .①④5.设函数f (x )=log a |x |,则f (a +1)与f (2)的大小关系是________________________. 6.若log 32=a ,则log 38-2log 36=________.一、选择题1.下列不等号连接错误的一组是( )A .log 0.52.7>log 0.52.8B .log 34>log 65C .log 34>log 56D .log πe>log e π2.若log 37·log 29·log 49m =log 412,则m 等于( )A.14B.22C. 2 D .43.设函数若f (3)=2,f (-2)=0,则b 等于( )A .0B .-1C .1D .24.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为( )A .(-∞,-14)B .(-14,+∞)C .(0,+∞)D .(-∞,-12)5.若函数若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值围是( ) A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A .(0,12)B .(12,+∞)C .(12,1)∪(2,+∞)D .(0,12)∪(2,+∞) 7.已知log a (ab )=1p ,则log ab a b=________. 8.若log 236=a ,log 210=b ,则log 215=________.9.设函数若f (a )=18,则f (a +6)=________. 10.已知集合A ={x |x <-2或x >3},B ={x |log 4(x +a )<1},若A ∩B =∅,数a 的取值围.11.抽气机每次抽出容器空气的60%,要使容器的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)能力提升12.设a >0,a ≠1,函数f (x )=log a (x 2-2x +3)有最小值,求不等式log a (x -1)>0的解集.13.已知函数f (x )=log a (1+x ),其中a >1.(1)比较12[f (0)+f (1)]与f (12)的大小; (2)探索12[f (x 1-1)+f (x 2-1)]≤f (x 1+x 22-1)对任意x 1>0,x 2>0恒成立.1.比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法:(1)利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小;(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小.2.指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)是两类不同的函数.二者的自变量不同.前者以指数为自变量,而后者以真数为自变量;但是,二者也有一定的联系,y=a x(a>0,且a≠1)和y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域.二者的图象关于直线y =x对称.。