对数与对数函数
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为
( ) A ．1 B ．2 C ．10
D ．5
解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0.
解得x ＝2或－5(舍去)．
2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的
( )
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．
则a ，b ，c
的大小关系是
( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．b <a <c
D ．b <c <a
解析
4．(2013·蚌埠模拟)函数y ＝log 0.5⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1＋1(x >1)的值域是
( )
A ．(－∞，－2]
B ．[－2，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋
1x －1＋1＝x －1＋1
x －1
＋2≥2(x －1)·1
x －1
＋2＝4，∴y ≤－2.
5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是
( )
解析 C f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ≥1，1
x
，0<x <1，故选C.
6．(2013·潍坊质检)设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1
4，则a
＝
( )
A ．－2
B ．－12 C.1
2
D ．2
解析 C 因为对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 互为反函数，所以g (x )＝2x .所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －1＝21a －1＝14，即1a －1＝－2，解得a ＝12.故选C.
7.已知函数f(x)=⎩
⎨
⎧>≤-1,01
,88x x x ,g(x)=x 2log , 则f(x)与g(x)两函数的
图象的交点个数为 （ ）
A 1
B 2
C 3
D 4 答案：B
8.函数f(x)=x a log (a>0，a ≠１），若)()(21x f x f -=1,则)()(2
221x f x f -等于 （ ）
A 2
B 1
C 2
1
D 2log a 答案A
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 9．lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝________.
解析 lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(2－lg 2)＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. 【答案】 2
10．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是 (m>n)
11.已知f(x)=x 2log ,则)2
3
()83(f f += 2
12.已知)2(log ax y a -=在[]1,0上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ()2,1
13.设m 为常数，如果)34lg(2-+-=m x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是(]4,0
14．函数f (x )＝log 1
2(2x 2
－3x ＋1)的增区间是____________．
解析 ∵2x 2
－3x ＋1>0，∴x <1
2或x >1.∵二次函数y ＝2x 2－3x ＋1的减区间是
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34， ∴f (x )的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 【答案】 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12
三、解答题(本大题共3小题，共40分) 15．(12分)(2013·昆明模拟)求函数
的定义域．
解析 要使函数有意义必须
即⎩⎨⎧
3x －2x 2>0，3x －2x 2≤1，
解得0<x ≤12或1≤x <
3
2， ∴函数的定义域是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪
⎬⎪⎫
x ⎪⎪⎪
0<x ≤1
2
或1≤x <32.
16．(12分)计算：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)；
(2)15⎝ ⎛
⎭⎪⎫lg 32＋log 416＋6lg 12＋15lg 15.
解析
17.已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4) = 4f(2) =16
(1)求f(x)的解析式；（2）若g(x)=[])1()(log >-a ax x f a 在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取值范围。

（1,2）
解析:(1)设f(x)=ax 2
+c,则 ⎩⎨⎧=+=+441616c a c a ,解得 ⎩⎨⎧==0
1
c a 2)(x x f =∴
(2) g(x)= []3,2)(log 2在ax x a -上单调递增 解得,102422⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>>-≤∴a a a 1＜a ＜2
18． 已知函数f (x )＝log a
x ＋b
x －b
(a >0，b >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性； 解析 (1)令
x ＋b
x －b
>0， 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．
(2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1
＝－log a x ＋b x －b ＝－f (x )，
故f (x )是奇函数．
(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b
x －b 在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函
数，所以当0<a <1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a >1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．。