拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一
种方法，下面具体地来看看这种方法。
若f（x1，x2，…，xn）及Gk（x1，x2，…，xn）=0（k=1，2，…，m. m＜n） 有 连 续 偏 导 数 ，且Jacobi矩 阵 鄣（G1，G2，…，Gm） 的 秩 为m，则 可
鄣（x1，x2，… ，xn） 用拉格朗日乘数法求极值。
得极大值。 选（A）。
2x
例2.（2009年 数2考 研 题 ）函 数y=x 在 区 间 （0，1］上 的 最 小
值为%%% %。
解 ：①先 求 驻 点 。
2x
2xlnx
2x
f′（x）=（x ）′=（e ）′=2x （lnx+1）=0，得驻点x=
1
;
e
2
②求驻点和端点处的函数值。
f（
1
-
）=e e ，f（1）=1;
参考文献： ［1］陈 龙 ，刘 秋 良.中 职 学 校 体 育 与 健 康 课 程 现 状 调 查 及 模 块 化 教 学 培 养 体 系 构 想 的 研 究 .新 闻 天 地 ，2009，63. ［2］刘秋良，曹万江，曹云 ，陈龙 ，黄小江.湘南郴州中职学 校学生身体素质现状调查分析及对第的研究.中国科技教育， 2009，7. ［3］刘秋良，曹万江，黄小江 ，陈海波 ，曹云.湘南郴州中职 学校体育与健康课程模块化实践问题的理论探讨与研究.考 试 周 刊 ，2009，37.
2
2
|x +
y
≤1}上 的 最 大 值 和 最 小 值 。
4
分析：f（x，y）在椭圆域上的最大值和最小值， 可能在区域
的内部达到，也可能在区域的边界上达到。 因此①求驻点及其
函 数 值 ；②求 边 界 上 的 极 值 。
f″f′解 ：求 函 数 的 驻 点 。
解方程组
f′x（x，y f′y（x，y
）=2x=0 ）=2y=0
关键词： 高数 考研 函数极值最值
函数的极值和最值是函数的重要性质， 在实际中有着重 要的应用，许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题， 并且研究生《高等数学考试大纲》也对求函数的极值和最值这 部分要求比较高。 所以从2001年到2009年的研究生高等数学 入学考试试卷中几乎都出现了这部分的试题。 2001年到2009 年考题中函数最值和极值的题型主要有一元函数的极值最 值、二元函数的极值最值、条件极值问题，以及函数的极值最 值的应用题。 笔者在此以考研函数的极值和最值问题为例，详 细论述了解决这类问题的方法。
值f（0，±2）=-2。
2
可 见 z=f（x，y） 在
区
2
域D={（x，y）|x +
y
≤1} 内 的 最 大 值 为 3，
4
最 小 值 为 -2。
2
2
2
方法3：代入法。 即y =4-4x 代入f（x，y）中得f（x，y）=5x -2，
转化为一元函数求极值（略）。
三、条件极值问题
条件极值问 题 ：在Gk（x1，x2，… ，xn）=0（k=1，2，… ，m. m＜n） 的 条 件 下 ，求 函 数 f（x1，x2，… ，xn）的 极 值 。
（3）若 H（p0）为 不 定 的 ，则 f在 p0无 极 值 。
定理3（二元函数 极 值 充 分 条 件 ）：设 函 数z=f（x，y）在 （x0，y
0）点 具 有 直 到 二 阶 的 连 续 偏 导 数 ，且 （x0，y0）点 是 函 数 的 稳 定
点 ， 令 A=f″xx（x0，y0），B=f″xy（x0，y0），C=f″yy（x0，y0）。
11
○ 教改研究 2009年第48期
周刊
论三维目标引领高职教学改革
肖武
（随州职业技术学院，湖北 随州 441300）
摘 要： 现代课程理论和改革的基本理念是：能力发展是核 心，知识、文化积累是基础，情感态度养成是灵魂。 三者相互依存， 相互促进，高职的教学改革必须紧紧围绕这三个维度来进行。
○ 题型研究 2009年第48期
周刊
高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法
梁存利
（西藏民族学院 教育学院，陕西 咸阳 712082）
摘 要： 最近几年考研高等数学试题中所出现的求函数 极值和最值问题主要有一元函数的极值和最值、 二元函数的 极值和最值、条件极值和最值，以及函数最值的在实际中的应 用。 本文以考研高等数学试题为例探讨了函数的极值和最值 问题的主要的求解方法。
②《中职学校学生岗前体能量化及等级标准》中的旨在 彰显可提升对未来岗位适应能力的专项身体素质的测试评 分标准各校可自行确定， 但评定原则上以该测试班级前十 名为优秀级，后十名为及格级，其余中间人员均为良好级。 或参照郴州市中职学校《体育与健康》模块式教材中岗前专 项身体素质章节测试内容、量化标准进行，但该项最高分为 10分 。
本文系湖南郴州市“十一五”科研课题。
例1.（1988年 考 研 题 ）设y=f（x）是 方 程y″-2y′+4y=0的 一 个
解，且f（x0）＞0，f′（x0）=0，则函数f（x）在x0点处（% %）。
A.取 得 极 大 值 %
%%%%%B.取 得 极 小 值
C.某邻域内单调递增% %D.某邻域内单调减少
附注说明： ①体育与健康课中的旨在彰显体育集体配合项目的测试 评分标准各校自行确定，原则上以完成集体配合的质量，完成 的 顺 利 程 度 评 分 ，该 项 最 高 得 分 不 超 过 10分 。 10
（1）如果 ff′′（（xx））＞＜00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极大值点； （2）如果 ff′′（（xx））＜＞00%%%%xx＜＞xx00，则x0是f（x）的极小值点； （3）如果在点x0的 邻 域 内 ，f′（x）不 变 号 ，则x0不 是f（x）的 极 值点。 如果函数在某驻点具有二阶导数， 也可用极值的第二充 分条件判断。 求极值的步骤如下： ①求函数f（x）的 定 义 域 ，并 求 导 数f′（x）；②求 驻 点 和 不 可 导 的 点 ；③利 用 定 理1确 定 函 数 的 极 值 点 ；④求 出 各 极 值 点 的 函数值，得到函数的极值。 2.求 最 值 的 方 法 求函数的最值的一般步骤为： ①求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点； ②求出第①步所得各点的函数值和该函数定义域端点处 的函数值； ③比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为 最小值。
e
2
③比较上述函数值的大小。
f（
1
-
）=e
e
＜1。
所以函数的最
e
2
小 值 为 ：f（
1
-
）=e
e
。
e
二、求多元函数的极值和最值
1.求 多 元 函 数 的 极 值 的 方 法
定 理 2：设 函 数 z=（x1，x2，… ，xn）在 p0 点 具 有 直 到 二 阶 的 连
续 偏 导 数 ， 且 p0点 是 函 数 的 稳 定 点 ， 函 数 在 p0 点 的 Hessian 矩
方法2：三角换元法。 令x=cost，y=2sint，则：
2
2
f（x，y）=cos t-4sin t+2=
5
cos2t+
1
，所以：
2
2
当 t=kπ 时 ， 即 x=±1，y=0 时 ，f （x，y） 在 边 界 上 取 得 极 大 值 f （±
1，0）=3。
当t=kπ+ π 时 ，即x=0，y=±2时 ，f（x，y）在 边 界 上 取 得 极 小 2
分析：从表面看此题是微分方程的问题，如果从微分方程
入 手 ，那 就 步 入 误 区 。 从 结 论 看 是 极 值 问 题 。 因 为 y″-2y′+4y=0，
所以f″（x0）-2f′（x0）+4f（x0）=0，且f′（x0）=0，f（x0）＞0，那 么f″（x0）=
2f′（x0）-4f（x0 ）=-4f （x0 ）＜0 由 极 值 第 二 充 分 条 件 可 知 f （x） 在 x0 取
阵为：
f″x1x1%%f″x1x2%%…%%f″x1xn
H（p0）= …%% …%% …%% … ， f″xnx1%%f″xnx2%%…%%f″xnxn
（1）若 H（p0）为 正 定 的 ，则 f在 p0取 得 极 小 值 ；
（2）若 H（p0）为 负 定 的 ，则 f在 p0取 得 极 大 值 ；
2
，得 唯 一 驻 点 （0，
f′y（x，y）=2x y+lny+1=0
1 e
）。
2
由于（下面利用定理3判断）A=f″xx（x，y）=2（2+y ），B=f″xy（x，y）=
2
4xy，C=f″yy=2x +
1 y
，于是：
2
（AC-B ）| 1 （0， e
2
2
=［2（2+y ）（2x +
）
1 y
22
）-16x y ］|
，
得
驻
点
（0，0），且f（0，0）=2。
求函数在边界上的极值（有下面的三种方法）。
方法1：条件极值法。 令拉格朗日函数为：
2
2
F（x，y，λ）=f（x，y）+λ（x +
y
-1），
4
鄣鄣F′x=
鄣f 鄣x
+2λx=2（1+λ）x=0
解
鄣 ：鄣F′y=
鄣f 鄣y
+
λy 2
=-2y+
1 2
λy=0得可能极值点x=0，y=2，λ=4；
（0，
1 e
=2e（2+ 1
）
2
e