(2) 类似可证 .
定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么
(1)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
应注意的问题：
如果f (x0)0 f (x0)0 则定理3不能应用 但不能由此 说明f (x0)不是f (x)的极值。

lim f (x) xx0 xx0
故 由 f(xx 0 当 0 )0 知 x ,存x0 在时 f(0， x,)当 0 0 ; xx0 时 , xf (xx0) 0
由第当 一x0判别x 法x知0f(时 x)在 fx， (0x取 )0极 , 大.x 值 0 x 0 x 0
x1 x2 x3 x4 x5
最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
为x1 x2 xn (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) (3)判断: 最大者是函数f(x)在[a b]上的最大值 最小者是
x1为极大值点, f(1)2是极大值
2 1
x2为极小值点, f(2)1是极小值 O 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点. y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
x 3 不是极值点
O ax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
3) 判别
因 f(0)60,故 f(0)0为极小值 ;
又 f( 1 ) f(1 ) 0 ,故需用第一判别法判别.
y
由于 f(x)在x1左右邻域内 , 不变号
f(x)在x1没有极 . 值
1 O 1 x
二、最大值与最小值问题
观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 怎样求函数的最大值和最小值
f(52)0.33
定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么
(1)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值

证: (1)
f
(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0)
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x)
(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号
(4)确定出函数的所有极值点和极值
2
例1. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
f
(x)
2
x3
(x1)
32x13
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大值点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小值点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 . 极大值与极小值统称为极值 .
例如 , 函数 f(x) 2 x3 9 x2 1x2 3 y
函数f(x)在x0处取得极小值 “左负右正”
(3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同 那么 函数f(x)在x0处没有极值
x1 x2 x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么 函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同 那么 函数f(x)在x0处没有极值
讨论：
函数f(x)x4 g(x)x3在点x0是否有极值？
例2. 求函数 f(x)(x21)31的极值 .
解: 1) 求导数
f(x)6x(x21)2, f(x) 6 (x2 1 )5 (x2 1 )
2) 求驻点
令 f(x)0, 得驻点 x 1 1 ,x 2 0 ,x 3 1
M
m x1 x2 x3 x4 x5
极值与最值的关系
闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的 端点及区间内的极值点处取得
函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值 和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函 数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者
M
m
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么
函数f(x)在x0处取得极大值 “左正右负”
(2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么

5 3

x

2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 f(x),得 x2 0
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x

2 5
是极小值点，其极小值为
一、函数的极值及其求法
函数的极值与 最大值最小值
二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,