Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
物线上的两动点，且葡一Ａ商
（Ａ＞Ｏ）．过Ａ、Ｂ两点分别作抛 物线的切线，设其交点为Ｐ．
（１）证明讳·蕊为定值；
（２）设△ＡＢＰ的面积为Ｓ，
写出ｓ—ｆ（２）的表达式，并求Ｓ
ｋ∥ 中学生数理亿．掌饼版
＼Ｖ
１
Ｐ
的最小值．
图１
解析：（１）设点Ｐ（ｘ。，Ｙ（，），Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），三点对应
的极线方程分别是：ｙ一一ｌ，ｙ一等一Ｍ（ｉ一１，２），Ａ，Ｆ·Ｂ三
万方数据
解析：第一个Ｉ司题，依题意知，点Ｐ在椭圆内部．圊出图
形，由数形结合可得范围为［２，啦）．
第二个问题，是一道涉及点、直线与圆锥曲线的位置关系 的判定的考题．其实是非常容易做错的题目．因为Ｐ（ｚ。，Ｙ。）
一？
在椭圆Ｃ：寻＋ｙ２—１的内部，所以很多学生误以为直线与椭
圆一定有两个交点，但直线下ＸＯＸ＋ＹｏＹ一１并不经过
例２已知直线等一帅ｙ一１与双曲线虿０７＂－一Ｙ２—１没有
一２
公共点，则等一Ｓｏ的取值范围是——．
解析：因为极线等一ｙｏｙ一１与双曲线等一Ｙ２—１没有
公共点，所以对应极点（ｚ。，ｙ。）在双曲线内部，所以有等一
，．２
Ｙｊ＞１，故等一ｙ：的取值范围是（１，＋。。）．
例３如图１，已知抛物线
，
ｚ！一４ｙ的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
■黄彩红
由于中学数学教材中没有提及极点与极线，因而大多数
老师和学生对此“视而不见”，并未进行深入探讨，但事实上，
极点与极线的身影随处可见，只是没有被点破而已．如果我们 能够了解一些圆锥曲线的极点与极线知识，不仅可以帮助我
们更快地找到解决问题的方向，还可以帮助我们快速得到结
由弦长公式得：１ＡＢＩ一４（１＋ｋ２），
．。．ｓ＾∞Ｐ一２（１＋女２）√４（１＋ｋ２）． 显然女一０时，Ｓ取最小值为４．
作者单位：江苏省丹阳市珥陵高级中学
簿
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
黄彩红 江苏省丹阳市珥陵高级中学
中学生数理化（学研版） MATH PHYSICS&CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2013(10)
Ｙｏｙ一声（＿ｒ—｝Ｔｏ）． 其他形式的圆锥曲线标准方程对应的极线方程与上述情
况类似． ３．圆锥曲线极点和极线的几何性质
性质１：圆锥曲线中极线共点于Ｐ，则这些极线相应的极 点共线于点Ｐ相应的极线，反之亦然．称为极点与相应极线对
偶性．
性质２：已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线． （１）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（２）若极点在
论．鉴于这个原因，笔者试着对极点与极线的知识作了一些整
理，希望对大家有所帮助．
１．极点与极线的定义
如果曲线切于Ａ，Ｂ两点的切线相交于Ｐ点，那么Ｐ点称
为直线ＡＢ关于该曲线的极点（ｐｏｌｅ）。直线ＡＢ称为Ｐ点的极
线（ｐｏｌａｒ）．极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思
想的一般化．任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线，每
曲线内，则极线与曲线的相离；（３）若极点在曲线外，则极线与 曲线的相交．
性质３：
Ｉ．圆锥曲线过定点（极点）弦的端点之切线交点的轨迹 为直线（极线）；
Ⅱ．圆锥曲线过定点（极点）的弦ＡＢ的中点向极线作垂
线交点为Ｐ．则ＰＡ，ＰＢ与圆锥曲线相切，反之亦然；
Ⅲ．圆锥曲线极线上的任意一点Ｐ与极点Ｆ连线交圆锥
曲线于Ａ、Ｂ的两点测胤＝甜；