0

p(k ) ij
1；
p(k ) ij
1。
j 1
因而有
p(2)

[
p(2) ij
]mm


p(2) 11
p(2) 21

p(2) 12
p(2) 22

p(2) m1
p(2) m2
p(2) 1m
p(2) 2m


p(2) mm

m

p p (1) (1) 1k k1

p p (1) (1) 22 22

p p (1) (1) 23 32
j 1
0.4 0.5 0.4 0.4 0.2 0.6 0.36
16
9.4遍历定理与极限分布 马尔可夫链遍历性的直观意义是：不论从哪个初始状 态Ei出发，当转移步数k充分大后，它到达状态Ej的概率 是一个不随时间变化的常数pj。
2
1949年，维斯捷列马斯在研究复式沉积层形成问题时， 首先应用了马尔可夫链。1984年，在莫斯科举行的第27 届国际地质会议上，维斯短列乌斯、阿柑特伯格 (F．P．Agterbers)等数学地质学家发表了莫斯科宣言，其 基本思想是；随机型模型应作为数学地质模型的基础，并 且肯定了马尔可夫过程(特别是马尔可夫链)在地质学中应 占有特殊的地位。
1251454524543541343423545454231454 545
9
解： 首先由上面的状态序列统计出转移频数矩阵[nij] 如下
1 2 3 4 5 列和ni·
1 2
0 0
1 0
1 2
2 1
0 1
n1 4 n2 4
3 4
1 1
0 2
0 2
2 0
2 8
n3 5 n4 13
{xt ,t 0,1, 2, }
马尔可夫链适用于时间离散、状态离散的时间序列。 但是，在研究地质过程时，有时能直接确定过程在时间 上的先后顺序，有时则只能间接地以空间上的上下、前 后、左右关系宋代替；也就是说，在地质过程研究中， 有时可以挨到确定的时间序列，有时只能间接地用距离 来代替时间参数：但是，只要空间序列有类似于马尔可 夫性质的关系存在，则仍然可以应用马尔可夫链对这种 序列进行研究。在此，我们将既适用于时间序列又适用 于空间序列的马尔可夫概率模型统称为“马尔可夫概 型”。
目前，常用马尔可夫概型分析研究沉积旋回，进行 地层对比，查明火山岩系的喷出顺序和侵入杂岩体中 各个侵入体形成的先后顺序，划分矿床的成矿期和成 矿阶段、揭示各个成矿阶段的空间分布等。
到目前为止，研究随机型地质过程所涉及的数学 方法也仅限于马尔可夫概型分析。
3
9.2马尔可夫概型
随机过程是概率论的基本概念之一，它是依赖于参数t 的一族随机变量，记为
p(k)

[
p(k ij
)
]mm


p(k) 11
p(k) 21

p(k) 12
p(k) 22

p(k) m1
p(k) m2
p(k) 1m
p(k) 2m


p(k) mm

称为K阶转移概率矩阵，其中
13
p(k ) ij

Ei后的第k步是E
的次数
j
Ei出现的次数
m
且有性质
6
若马尔可夫过程的转移概率随着时间的推移而发生变 化，则称其为非齐次或非乎稳马尔可夫过程，转移概率不 随时间而变的马尔可夫过程就称为齐次或平稳马尔可夫过 程。目前在地质研究中，主要是应用平稳马尔可夫过程。
7
9.3马儿可夫链的转移概率
设马尔可夫链中可列个发生状态转移的时刻为t1， t2，…tn，…，在已知时刻t＝tn时随机过程xi所处状态为i 的条件下，把经过一步转移，即在时刻t＝tn+1(tn+1＞tn)转 移到状态j上的概率记为pij，
由条件分布律的性质，知转
p (1)


p (1) 11
p (1) 21


p (1) m1
p (1) 11
p (1) 22
p (1) m2

p(1) 1m
p (1) 2m


p(1) mm

移概率有如下性质：
0

p(1) ij
1
m
p(1) ij
1
也就是说，无论初始状态如何，经过若干步转移以后， 系统将处于平衡状态，因而当k充分大时，可用pj作为pij（k） 的近似值。
遍历性可以解决当k很大时高阶转移概率的计算问 题。pj称为马尔可夫链的极限概率。
遍历性需要确定的中心问题在什么样的条件下，转移
概率的极限才是存在的；极限概率是否构成一个概率分布；
F (xn；tn / xn1；tn1)
则称x(t)为马尔可夫过程,条件分布函数
F(xn；tn / xn1；tn1) P{x(tn ) xn / x(tn1) xn1} (tn tn1)
是马尔可夫过程的概率模型,上式为马尔可夫过程的转移
概率。
马尔可夫过程又称为“无后效随机过程”。所谓无后
p

0.74 0.74
0.26 0.26
20
如果从公式P（k）=（P（1））k出发，计算其高阶转移概率
p (1) 25

0

0
0.25 0.25 0.5 0
0
0.5
0.25
0.25

p (1)


p (1) 31
p (1) 41
p (1) 32
p (1) 42
p (1) 33
p (1) 43
p (1) 34
p (1) 44
p (1) 35
p (1) 45


0.2 0.077
p(2) 21

p(2) 12
p(2) 22

p(2) m1
p(2) m2
p(2) 1m
p(2) 2m


p(2) mm

这个矩阵称为二阶转移概率矩阵，其中元素pij可以 由实际资料统计出来，即
12
p(2) ij

Ei后的第二步是E
的次数
j
Ei出现的次数
更一般地，由状态Ei经k步转移到状态Ej，的概率pij称 为k阶转移概率，其转移概率矩阵
i 1
m
在满足条件pj>0，
p (1) j
1
时的唯一解
i 1
18
例，有一马尔可夫链，其转移状态有两种：E1，E2。 经计算得出它的一阶转移概率矩阵为
p(1)

0.79 0.59
0.21 0.41
当s=1时，对一切i，j，pij（1）〉0满足遍历性定理，故有。 而pj可由方程组
x(t),t T
这里的参数t一般是时间，T是它的变化范围，随机变
量x(ti)也称作随机过程 x(t)在t＝ti ∈T时的状态。
当随机过程在时刻t1所处的状态x(t1)为已知的条件下， 若随机过程在时刻t(t＞t1)所处的状态x(t)与随机过程在t1 时刻之前发生的状态无关，那么这样的随机过程就称为
链的一个重要问题。转移概率在理论上是条件概率，而实
际应用时则是以转移频率nij/ni．作为条件概率的估计值，
即
pˆ ij

nij ni
例：一地层段由五种岩性状态组成，以1表示砾状砂岩
和粗砂岩，2表示细砂岩，3表示粉砂岩，4表示粘土岩，
5表示灰岩，下面列出了自下而上的岩性状态转移序列，
求其转移概率。
求出


p
j

m i 1
pi
p(1) ij
( j 1, 2,
, m)
m


j 1
pj
1
( p j 0)
19
对于本例为

p1 p2

0.79 p1 0.21p1

0.59 0.41
p2 p2
p1 p2 1
( p1, p2 0)
最后得到p2=0.26，p1=0.74。所以，其极限概率矩阵为
p(1) k1
p p (1) (1) mk k 2 k 1
k 1
p(1) mk
p(1) km

14
从而，对于高阶转移概率矩阵有
m
p(k ) ij

p p (r ) (k r ) ij ij
i 1
也就是说，从状态Ei出发经过k步到达状态Ej这一过 程，可以看作它是先经过r(o＜r＜k)步转移到某一状态
0 0.154
0 0.154
0.4 0
0.4 0.615

p (1) 51
p (1) 52
p (1) 53
p (1) 54
p (1) 55

0.1
0.1
0 0.8 0
如果过程的状态不是5种而是m种，即E1，E2，…，
Em ,那么由状态Ei经过一步转移到状态Ej的一阶转移概率
矩阵为
j 1
(i 1, 2,
, m)
11
二、高阶转移概率
如果马尔可夫链有，m 种状态EI，E2，…，Em，从状 态Ei出发经两步转移到状态Ej的概率(不管第一步是什么状 态)称为二阶转移概率，记为此pij(2)，用二阶转移概率排成 的矩阵为
p(2)

[
p(2) ij
]mm


p(2) 11