概率向量
概率矩阵 由概率向量作为行向量所构 成的方阵称为概率矩阵。
0.7 0.3 A 0.5 0.5
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概率矩阵的性质：如果A、B 皆是概率矩阵，则AB也是 m 概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 A (m 1)也 是概率矩阵。
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概率矩阵的性质：如果A、B 皆是概率矩阵，则AB也是 m 概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 A (m 1)也 是概率矩阵。 一步状态转移概率矩阵 p11 p12 L p p22 L 21 P L L L pN 1 pN 2 L
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为 ，
m
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)）
m
( 1 , 2 ,..., N )
m
lim p j m j
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马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
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马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
全概率公式
P ( k ) P ( k 1) P
P
k
P , k 1
k
P —— 一步状态转移概率矩阵
P( k ) —— k 步状态转移概率矩阵
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为
m m

，
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)） ( 1 , 2 ,..., N )
lim p j m j
lim p j m lim pi 0 p m
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三、平稳分布与稳态分布
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布 如 X x1 , x2 ,L , xN 为一状态概率向量，P为状态转移 概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。
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三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布 如 X x1 , x2 ,L , xN 为一状态概率向量，P为状态转移 概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。 若随机过程某时刻的状态概率向量为平稳分布，则称 过程处于平衡状态。 一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态 转移之后，其状态概率分布保持不变，即，过程一旦处于 平衡状态后将永远处于平衡状态。
当系统由一种状态变为另一种状态时，称为状态转移。
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二、状态转移概率矩阵
当系统由一种状态变为另一种状态时ห้องสมุดไป่ตู้称为状态转移。 定义2 一步状态转移概率
(1) pij pij P{X n1 j X n i}
N
pij 0,
p
j 1
ij
1
若由X n i转移到X n1 j的概率pij与n无关,则称该马尔 可夫链是齐次的。
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几个概念：
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几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
9
几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
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几个概念：
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
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2. 稳态分布 问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时， 是否存在极限？
若存在，设其极限为 ，
m
lim P(m) lim （p1 (m)，p2 (m)，...,pN (m)）
m
( 1 , 2 ,..., N )
p ( k )11 (k ) p 21 L (k ) p N1 p ( k )12 p ( k ) 22 L L L L p ( k )1N (k ) p 2N L (k ) p NN
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P
(k )
p(k ) N 2 L
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由 1步状态转移概率求出。
p1 N p2 N L pNN
假设： pij 与n无关 （齐次性）
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k步状态转移概率
pij P
k
P X n k j X n i, pij
k

k

, k 1 N N
称 pij k 为k步状态转移概率， P k 为k步状态转移概率矩阵，
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
概率向量
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几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
马尔可夫预测

马尔可夫链的基本原理 马尔可夫预测方法及应用
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1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程
2
1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1 若非负随机序列{X(tn),n∈N}满足条件
则称随机序列{X(tn)}为马尔科夫链，简称马氏链。
i 1 N (m) ij (m) pi 0 lim pij i 1 m
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m
N
m
定义 对于概率向量 1, 2 ,..., N ，如 对任意的 i, j S ，均有
m ( m) lim pij j
3
1.
马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程 定义1 若非负随机序列{X(tn),n∈N}满足条件
则称随机序列{X(tn)}为马尔科夫链，简称马氏链。
无后效性指“将来”取什么值只与“现在”的取值有关，
而与“过去”取什么值无关。
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二、状态转移概率矩阵
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二、状态转移概率矩阵