2017-2018学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次联考数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|=．4．（5分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣9）=．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=（3c﹣b）cosA，则cosA=．7．（5分）已知函数f（x）=x+lnx﹣4的零点在区间（k，k+1）内，则正整数k 的值为．8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+x在区间（0，2）上是单调增函数，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为4，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y=f（x）在[0，1]上的值域为．10．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，则不等式f（x ﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，=5，BD=4，O为BD的中点，且=，则=．12．（5分）已知函数f（x）=在区间（1，2）上存在最值，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数若g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，若，，成等差数列，则cosC的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，设向量，．（1）若∥，求x的值；（2）若，求的值．16．已知函数f（x）=x3﹣+3kx+1，其中k∈R．（1）当k=3时，求函数f（x）在[0，5]上的值域；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c﹣b=2bcosA．（1）求证：A=2B；（2）若cosB=，c=5，求△ABC的面积．18．如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB=50米，AD=100米．现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA=θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f（θ）．（1）求f（θ）关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f（θ）最小？19．已知二次函数f（x）为偶函数且图象经过原点，其导函数f'（x）的图象过点（1，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+|f'（x）﹣m|，其中m为常数，求函数g（x）的最小值．20．设函数．（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．2017-2018学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）={1，4} ．【解答】解：由M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}，又U={1，2，3，4}，∴∁U（M∩N）={1，4}．故答案为{1，4}．2．（5分）函数的定义域为．【解答】解：∵函数，∴1﹣2log 2x≥0，∴log2x≤=，∴0＜x≤，故函数的定义域为，故答案为．3．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|=．【解答】解：∵向量、满足||=2，||=3，、的夹角θ=60°，∴|2﹣|====故答案为：4．（5分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为（﹣1，1）．【解答】解：设指数函数解析式为y=a x，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以4=a﹣2，解得a=，所以指数函数解析式为y=，所以f（3）=；不等式f（x）+f（﹣x）＜为，设2x=t，不等式化为，所以2t2﹣5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）．故答案为：；（﹣1，1）．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣9）=2．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=f（x+2），∴f（x）在（﹣∞，2）上是周期为2的函数，∴f（﹣9）=f（1）=3﹣1=2．故答案为：2．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=（3c﹣b）cosA，则cosA=．【解答】解：已知等式acosB=（3c﹣b）cosA，利用正弦定理化简得：（3sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，整理得：3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，故答案为：．7．（5分）已知函数f（x）=x+lnx﹣4的零点在区间（k，k+1）内，则正整数k 的值为2．【解答】解：由函数的解析式可得函数在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=ln2+2﹣4＜0，f（3）=ln3+3﹣4＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间（2，3）上存在零点．结合所给的条件可得，故k=2，故答案为：2．8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+x在区间（0，2）上是单调增函数，则实数a的取值范围为a≥1．【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣x2+x在区间（0，2）上单调递增，∴f′（x）=ax2﹣2x+1≥0，在x∈（0，2）恒成立，∴a≥，在x∈（0，2）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），g′（x）=＜0，故g（x）在（1，2）递减，（0，1）是增函数，函数的最大值为：g（1）=1，故g（x）≥g（1）=1，故a≥1，故答案为：a≥1．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为4，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y=f（x）在[0，1]上的值域为[，1] ．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为4，则：T=，解得：，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到：f（x）=sin（+φ），所得图象关于原点轴对称，则：φ﹣（k∈Z），解得：φ=（k∈Z），由于：0＜φ＜π所以：当k=0时，φ=．f（x）=sin（），由于：0≤x≤1，则：，则：f（x）=sin（）∈．故答案为：[，1]10．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，则不等式f（x ﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（﹣3，2）．【解答】解：函数，其中e为自然对数的底数，由指数函数的性质可得f（x）是递增函数，∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函数，那么不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0，即f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）．等价于：x﹣2＜4﹣x2．解得：﹣3＜x＜2．故答案为（﹣3，2）．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，=5，BD=4，O为BD的中点，且=，则=﹣3．【解答】解：∵O是BD的中点，∴=，∴==+，∴==﹣，==﹣，∴=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+，∵=（）2=﹣2=16，∴=16+2=26，∴=﹣﹣+=﹣×26+=﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）已知函数f（x）=在区间（1，2）上存在最值，则实数a的取值范围是（﹣9，﹣5）．【解答】解：对函数求导可得，函数f（x）在区间（1，2）上存在最大值，则原问题可转化为f’（1）f’（2）＜0，即：，求解不等式可得﹣9＜a＜﹣5，即实数a的取值范围是（﹣9，﹣5）．故答案为（﹣9，﹣5）．13．（5分）已知函数若g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是．【解答】解：函数，g（x）=f（x）﹣m有三个零点，就是f（x）﹣m=0有3个解，即函数f（x）与y=m的图象有3个交点；当x＞1时，f（x）=lnx+，可得f′（x）==恒成立，所以f（x）在x＞1时是增函数，f（x）＞1．f（x）与y=m至多有1个交点，当x≤1时，f（x）=2x2﹣mx++，必须与y=m有两个交点，此时函数f（x）是二次函数，满足解得1故答案为：．14．（5分）在△ABC中，若，，成等差数列，则cosC的最小值为．【解答】解：△ABC中，，，成等差数列，∴+=，即+=，∴=，即=，∴4cosCsinAsinB=sin2C，∴cosC===，∴c2=2（a2+b2﹣c2），解得c2=（a2+b2），∴cosC==≥=，当且仅当a=b时取“=”；∴cosC的最小值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，设向量，．（1）若∥，求x的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∥，∴，即．又，∴．（2）∵，∴，即．令，则，且，又，故，∴．所以=．16．已知函数f（x）=x3﹣+3kx+1，其中k∈R．（1）当k=3时，求函数f（x）在[0，5]上的值域；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）k=3时，f（x）=x3﹣6x2+9x+1，则f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），令f′（x）=0得x1=1，x2=3，列表如下：x0（0，1）1（1，3）3（3，5）3 f′（x）+0﹣0+f（x）1单调递增5单调递减1单调递增21由上表知函数f（x）的值域为[1，21]．（2）方法一：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f′（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以，即（舍）．②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f′（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k⋅2+1=3，符合题意．③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f′（x）＜0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f′（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递增，所以，化简得：k3﹣3k2+4=0，即（k+1）（k﹣2）2=0，所以k=﹣1或k=2（舍）．注：也可令g（k）=k3﹣3k2+4，则g′（k）=3k2﹣6k=3k（k﹣2），对∀k∈（1，2），g′（k）≤0，g（k）=k3﹣3k2+4在k∈（1，2）单调递减，所以0＜g（k）＜2不符合题意，综上所述：实数k取值范围为k≥2．方法二：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k），①当k≥2时，∀x∈[1，2]，f′（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k⋅2+1=3，符合题意．②当k≤1时，∀x∈[1，2]，f′（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f（x）min＜f（2）=3不符合题意．③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f′（x）＜0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f′（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递增，所以f（x）min=f（k）＜f（2）=3不符合题意，综上所述：实数k取值范围为k≥2．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c﹣b=2bcosA．（1）求证：A=2B；（2）若cosB=，c=5，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）由c﹣b=2bcosA及正弦定理可得，sinC﹣sinB=2sinBcosA，（*）∵C=π﹣A﹣B∴sin[π﹣（A+B）]﹣sinB=2sinBcosA，即sin（A+B）﹣sinB=2sinBcosA，所以sinAcosB+cosAsinB﹣sinB=2sinBcosA，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sinB，即sin（A﹣B）=sinB，又A，B是△ABC的内角，所以B∈（0，π），A﹣B∈（0，π），所以A﹣B=B或A﹣B+B=π（舍去），即A=2B．（2）由cosB=及B∈（0，π）可知，．由A=2B可知，，．由（*）可得，．在△ABC中，由正弦定理可得，，解得b=4，所以△ABC的面积．18．如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB=50米，AD=100米．现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA=θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f（θ）．（1）求f（θ）关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f（θ）最小？【解答】解：（1）据题意，在Rt△OAM中，OA=50，∠OMA=θ，所以AM=，OM=．据平面几何知识可知∠DON=θ．在Rt△ODN中，OD=50，∠DON=θ，所以ON=．所以f（θ）=20•S+500•AM=△OMN=．…（6分）据题意，当点M与点B重合时，θ取最小值；当点N与点C重合时，θ取最大值，所以．所以f（θ）=，其定义域为．…（8分）（2）由（1）可知，f（θ）=，．f'（θ）===，令f'（θ）=0，得，其中，列表：θθ0f'（θ）﹣0+f（θ）↘极小值↗所以当时，总费用f（θ）取最小值，可节约投入成本．…（16分）法二：f（θ）====，…（13分）当且仅当，即时，取等号．…（15分）所以当时，总费用f（θ）最小，可节约投入成本．…（16分）19．已知二次函数f（x）为偶函数且图象经过原点，其导函数f'（x）的图象过点（1，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+|f'（x）﹣m|，其中m为常数，求函数g（x）的最小值．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）经过原点，可设f（x）=ax2+bx（a≠0），又因为f（x）为偶函数，所以，对任意实数x∈R，都有f（﹣x）=f（x），即a（﹣x）2+b（﹣x）=ax2+bx，所以，2bx=0对任意实数x∈R都成立，故b=0．所以f（x）=ax2，f'（x）=2ax，又因为导函数f′（x）的图象过点（1，2），所以2a×1=2，解得a=1．所以f（x）=x2．（2）据题意，g（x）=f（x）+|f'（x）﹣m|=x2+|2x﹣m|，即①若，即m＜﹣2．当时，g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，故g（x）在上单调递减；当时，g（x）=x2+2x﹣m=（x+1）2﹣m﹣1，故g（x）在上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增．故g（x）的最小值为g（﹣1）=﹣m﹣1．②若，即﹣2≤m≤2．当时，g（x）=（x﹣1）2+m﹣1，故g（x）在上单调递减；当时，g（x）=（x+1）2﹣m﹣1，故g（x）在上单调递增．故g（x）的最小值为．③若，即m＞2．当时，g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，故g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在上单调递增；当时，g（x）=x2+2x﹣m=（x+1）2﹣m﹣1，故g（x）在上单调递增．故g（x）的最小值为g（1）=m﹣1．综上所述，当m＜﹣2时，g（x）的最小值为﹣m﹣1；当﹣2≤m≤2时，g（x）的最小值为；当m＞2时，g（x）的最小值为m﹣1．20．设函数．（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．【解答】解：（1）当a=2时，，，，，所以函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即x﹣y﹣1=0．…（4分）（2）函数，定义域为（0，+∞），．①当a≤0时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f'（x）=0，得．xf'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．…（9分）（3）当时，由（2）可知，函数f（x）在上单调递减，显然，，故，所以函数f（x）在（1，2）上单调递减，对任意x∈（，+∞），都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．…（16分）。