衢州二中高三第一学期期中考试试卷理科数学命题人：余建新 审核人：郑志坚一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．(1)若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =I （ ） A ．[1,0]- B ．[0,)+∞ C ． [1,)+∞ D ．(,1]-∞-(2)设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ，则p ⌝是q ⌝的 （ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)函数()()111x f x x x -=>+的反函数为 （ ） A ．()1,0,1x y x x +=∈+∞- B ．()1,1,1xy x x +=∈+∞-C ．()1,0,11x y x x +=∈-D ．()1,0,11x y x x +=∈-(4)在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -的值为 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．10(5)设,21cos sin ,0=+<<ααπα则α2cos 的值为 （ ）A ．47B ．47-C ．47±D ．41-(6) 已知奇函数)(x f 在)0,(-∞为减函数，且0)2(=f ，则不等式0)1()1(>--x f x 的解集为（ ）A ．{}13-<<-x x B ．{}213>-<<-x x x 或C ．{}303><<-x x x 或D ．{}3111<<<<-x x x 或(7)数列}{n a 中，若),2(11,2111N n n a a a n n ∈≥-==-，则2007a 的值为 （ ） A ．－1 B ．21C ．1D ．2(8)定义行列式运算：.32414231a a a a a a a a -=将函数xxx f cos sin 13)(----=的图象向左平移m 个单位)0(>m ，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （ ） A.8π B.3πC. 32πD. 65π(9)称||),(b a b a d -=为两个向量a 、b 间的“距离”.若向量a 、b 满足:①1||=b ;②b a ≠;③对任意的R t ∈,恒有),(),(b a d b t a d ≥则 （ ） A.b a ⊥ B.)(b a a -⊥ C. )()(b a b a -⊥+ D. )(b a b -⊥ (10)已知函数]2,2[)()(-==在和x g y x f y 的图象如下所示给出下列四个命题：（1）方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 （2）方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 （3）方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 （4）方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题个数是A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 （ ）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． (11)2(12)(32)1i i i+-++= . (12）1lim →x 54222-+-+x x x x =.(13)若关于x 的不等式02>+-x ax 的解集为),,3()2,(+∞--∞Y 则实数=a . (14)函数)1()1(613842->+++=x x x x y 的最小值是 . (15)设P 为ABC ∆内一点，且AC AB AP 5152+=.则=∆∆ABC ABP S S .(16)设)(x f 是以2为周期的奇函数,且.3)52(=-f 若,55sin =α则)4cos 4(αf 的值是.(17)某个QQ 群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，…，n 。

在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对))(,(q p q p <表示，规则如下：若编号为k 的同学看到像为),(q p ，则编号为1+k 的同学看到像为),(r q ，且k p q =-),,(*N r q p ∈。

已知编号为1的同学看到的像为（5，6）.则编号为n 的同学看到的像是 .衢州二中高三第一学期期中考试试卷理科数学答题卷二．填空题)47(⨯11． 12． 13． 14．15． 16． 17．三．解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (18)（本题14分）已知函数2()2cos 2f x x x ωω=（其中01ω<<），若直线3x π=为其一条对称轴，(Ⅰ)试求ω的值；(Ⅱ)先列表再作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象.(19) （本题14分）已知,,a b c R ∈，2()f x ax bx c =++.⑴若0a ≠，且(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =两实根的平方和为10，函数()y f x =的图象过点(0,3),求函数()y f x =的解析式.⑵若函数2()f x ax bx c =++的图象过点)0,1(-，是否存在常数c b a ,,,使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数x 都成立?(20)（本题14分）设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a 满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根. (Ⅰ)试写出)(1x f y =，并求出2a ； (Ⅱ)求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式； (Ⅲ)设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-=Λ，求n S .(21) （本题14分）已知函数()ln f x x =, a a x x g (21)(2+=为常数),直线l 与函数)(x f 、)(x g 的图象都相切,且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1. (Ⅰ)求直线l 的方程及a 的值;(Ⅱ)若)()1()(x g x f x h '-+=(注: x g (')是)(x g 的导函数),求函数)(x h 的单调递增区间;(Ⅲ)当R k ∈时,试讨论方程k x g x f =-+)()1(2的解的个数.(22)（本题14分）已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）试判断数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）设21nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．衢州二中高三第一学期期中考试理科数学答案1. B2.A3.C4.C5.B6.D7.A8.D9.D 10. B11.i 38+, 12.21, 13.3, 14.2 , 15.51, 16.3- 17.)210,210(22+++-n n n n （18）解：（1）化简可得：()1cos 2212sin(2)6f x x x x πωωω=+=++Q 以直线3xπ=为对称，∴2sin()136ωππ+=±，∴2()362k k Z ωππππ+=+∈ 3122k ω∴=+，111010332k k ωω<<∴-<<∴=∴=Q（2）()12sin(6f x x π=++图略.19．解 ⑴∵(2)(2)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴为22bx a=-=，……① ∵函数图象过点(0,3)，所以3c =， ……② 设方程()0f x =的两根为12,x x ，则222121212()2x x x x x x +=+-＝2()210b c a a--= …③由①②③得1,4,3a b c ==-=，∴函数()f x 的解析式为2()43f x x x =-+⑵由0,a c +=得c a =-，2()f x ax bx a ∴=+-，假设0a =或2b a≥． ①由0a =，得()f x bx =，依题设可知0b ≠，因而函数()f x 在[]1,1-上是单调函数，，()f x 的最大值为b ，最小值为b -，于是252b b ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，由此得到矛盾，故0a ≠．②.41,21,41===c b a20.（1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a（1） 由(1),],[|,2cos ||)(21sin ||)(21sin|)(322a x xx a x x f ππ∈=-=-= ∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π33=a],3[|,31sin ||)3(31sin ||)(31sin |)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a由此可得πn a a n n =-+1， 2)1(π-=n n a n当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-ΛΛππππππ4])12(53[)()()[(221223412n k k a a a a a a k k -=-=-++++-=-++-+--=-ΛΛ∴π42n S n -= 当Z k k n ∈+=,12，πππ4)1)(1(22)12(212212+-=++-=+=++n n k k k a S S k k k∴π4)1)(1(+-=n n S n21、解：（Ⅰ）1()1,x f x ='=故直线l 的斜率为1，切点为（1，f(1)），即（1，0） ∴直线l 的方程为: 1y x =- 直线l 与()y g x =图象相切，等价于方程组2112y x y x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩只有一解， 即方程0)1(212=++-a x x 有两个相等实根，∴△=1－4·0)1(21=+a 。

∴12a =-.（Ⅱ）∵x x x x h ()1ln()(-+=＞－1），由,1111)(+-=-+='x xx x h)(x h '＞0，11+x ＜0， ∴－1＜x ＜0。