Cv ϕABC rv 1v 1v 1ωϕ(a)CCωCv ωO(a)第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。

在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45º（图a ）。

2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。

3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。

细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c ）。

解：1．222222163)2(2121)2(212121BB BC C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。

现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。

当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。

解：图（a ）B A T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。

齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。

曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。

试求行星齿轮机构的动能。

解：C OC T T T +=2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21rr r g F r g F r g F ωωω++=习题10－2图习题10－3图Bv A Cθ(a)vOωA习题10－1图(b)(c)A)92(3P Q 22F F gr +=ω 10－4 图示一重物A 质量为m 1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。

绳索跨过一不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 的半径为R ，与半径为r 的滚子C 固结，两者总质量为m 2，其对O 轴的回转半径为ρ。

试求重物A 的加速度。

解： 将滚子C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想设系统在物块下降任意距离s 时的动能动能：22221212121C C C A J v m v m T ω++=其中r R v A C -=ω，rR r v r v A C C -==ω，22ρm J C =22222122222221])([21])(1)([21A A v r R r m m v r R m r R r m m T -++=-+-+=ρρ 力作的功：gs m W 1=应用动能定理：gs m v r R r m m A 1222221])([21=-++ρ 将上式对时间求导数：s g m a v r R r m m A A 122221])([=-++ρ 求得物块的加速度为：)()()(2222121ρ++--=r m r R m r R g m a A10－5 图示机构中，均质杆AB 长为l ，质量为2m ，两端分别与质量均为m 的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。

设弹簧刚度为k ，且当θ = 0˚时，弹簧为原长。

若机构在θ = 60˚时无初速开始运动，试求当杆AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。

解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。

动能：222212121AB O B A J mv mv T ω++=其中：AB A l v θωsin =；AB B l v θωcos =；2231ml J O =222222653121ABAB AB ml ml ml T ωωω=+= 外力的功：])cos ()60cos [(2)sin 60(sin 22)sin 60(sin 22θθθl l l l k l mg mgl W --︒-+-︒+-︒=T = W ；2265AB ml ω])cos 1(41[2)sin 23(222θθ--+-=l k mgl （1）当0=θ时：832klmgl W +=2265AB ml ω832kl mgl +=；mlkl mg m k g l AB 203324203536+=+=ω 对式（1）求导：AB AB ml αω235θθθθθ sin )cos 1(22cos 22---=l k mgl ； 习题10－4图习题10－5图习题10－6图其中：AB ωθ=- ；当0=θ时：lg AB56=α 10－6 图a 与图b 分别为圆盘与圆环，二者质量均为m ，半径均为r ，均置于距地面为h 的斜面上，斜面倾角为，盘与环都从时间0=t 开始，在斜面上作纯滚动。

分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？解：对图（a ）应用动能定理：θsin 4321mgs mv C =；求导后有θsin 321g a C = 设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d ，则21121t a d C =；θsin 3211g d a d t C == 对图（b ）应用动能定理：θsin 22mgs mv C =；求导后有θsin 212g a C =22221t a d C =；θsin 4222g da dt C ==因为t 1 < t 2，所以圆盘（a ）先到达地面。

10－7 两匀质杆AC 和BC 质量均为m ，长度均为l ，在C 点由光滑铰链相连接，A 、B 端放置在光滑水平面上，如图所示。

杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C 落到地面时的速度。

解：设铰链C 刚与地面相碰时速度C v v =。

根据运动学分析A '点及B '点分别为C A ''及C B ''杆的速度瞬心，如图（a ）ωω===''l vl v C C A ωω===''lvl v C C B 动能定理：0231212222-⋅⋅=⋅⋅ωml h mg231mv mgh =gh v 3=10－8 质量为15kg 的细杆可绕轴转动，杆端A 连接刚度系数为k =50N/m 的弹簧。

弹簧另一端固结于B 点，弹簧原长1.5m 。

试求杆从水平位置以初角速度0ω=0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。

解：2021)31(21ωml T =， 222)31(21ωml T = ])5.112()5.12[(2232212---+⋅=kmg W )733(23-+=k mg习题10－7图A 'C A''ωC'C B''ωBCv(a)O B Ar习题10－9图ACO Rr B ϕ习题10－10图k60A 'OOωBAgm gm ωm 2m2 (a) 1212W T T =-)733(23)(612022-+=-k mg ml ωω 202)733(633ωω+-+=mlk mg93.1215)733(5068.915332=⨯-⨯+⨯⨯=rad/s10－9 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m 、半径为r ，可沿水平面作纯滚动。

刚性系数为k 的弹簧一端固定于B ，另一端与圆盘中心O 相连。

运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度及圆盘与水平面间的摩擦力。

解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为，则22143ωmr T =；02=T ；21221δk W -= 1212W T T =-；=-2243ωmr 221δk -；ωδr k m 23=（2）如图（a ）：r F J O A =α；Fr J O =αωα222323r k m k mr =；m k32ωα= A F mr =α21；6km r F A ω=10－10 在图示机构中，鼓轮B 质量为m ，内、外半径分别为r 和R ，对转轴O 的回转半径为ρ，其上绕有细绳，一端吊一质量为m 的物块A ，另一端与质量为M 、半径为r 的均质圆轮C 相连，斜面倾角为，绳的倾斜段与斜面平行。

试求：（1）鼓轮的角加速度；（2）斜面的摩擦力及连接物块A 的绳子的张力（表示为的函数）。

解：（1）应用动能定理：T = W222221212121CC C O O A J Mv J mv T ωω+++= 其中：O A R v ω=；O C r v ω=；O C ωω=；2ρm J O =；221Mr J C =22222)21(21OMr Mr m mR T ωρ+++= 设物块A 上升距离s A 时：A C mgs Mgs W -=ϕsin 对动能定理的表达式求导：A C O O mgv Mgv Mr R m -=++ϕαωρsin ]23)([2222223)(2)sin (2Mr R m mR Mr g C O ++-===ρϕααα （2）如图（a ）：Fr J C =α；αMr F 21=如图（b ）：mg F ma -=T ；)(T αR g m F +=O F OA F N（a ）αm g CF C FF （a ）αM gm g F （b ）A习题10－12图ϕ.ϕrOsvg1m B k A dg2m(a)10－11 匀质圆盘的质量为1m 、半径为r ，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O 转动，以起吊重物A ，如图所示。

若重物A 的质量为2m ；弹簧刚度系数为k 。

试求系统的固有频率。

解：设弹簧上OB 位于铅垂位置时为原长，则动能22122))(21(2121r vr m v m T +=212)4121(v m m +=2222222)(2s rkdgs m d r s k gs m W -=-=W T =22222122)4121(s rkd gs m v m m -=+t d d：v s rkd g m va m m )()21(22212-=+s rkd g m a m m 22212)21(-=+g m s rkd s m m 22212)21(=++ 122122221)2(m m g m s m m r kd s +=++ )2(212222n m m r kd+=ω 21n 22m m krd +=ω10－12 图示圆盘质量为m 、半径为r ，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。