分布，求在条件 X Y n 下 X 的条件期望. 1 Key : E ( X | X Y n) n 1 2 2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量 N, X i 表 示第 i 个顾客所花的钱数， 店一天营业额的均值. 是相互独立同
分布的随机变量，且与 N 相互独立，试求该日商店
n
E n 1
n1
X i p( N n ) i 1


nEX1 p( N n)
( EX1 )

n1
np( N n) EX1 EN
#
3
设
是具有指数分布 F ( x ) 1
e x ,( 0, x 0) 的相互独立的随机变量，其中
n E Xk k 1


k 1
n
EX k
2，则有 2) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var

Xk k 1
n

n
k 1
Var ( X k )
思考与练习
1 设独立随机变量 X 和 Y 服从参数为 的 Poisson

2) 通过取条件计算方差
Var ( X ) E[Var ( X | Y )] Var ( E[ X | Y ])
3) 线性：若 a , b , X ,Y ，则有
E[(aX bY ) |] aE ( X |) bE (Y |)
4) 单调性：若 X ,Y 且 X Y , a .s .，则有
X i [ ti 1 , ti ) , 且有 0 t0 t1 t k t k 1 ，
求 E[ti 1 ,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于
100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学
期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 X i .
i 1 N
则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
故有：
1 EX (2 3 5 2 EX ) 3
EX 10. (小时)
$1.7 独立性
1. 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有
1
n E Xk k 1

EX
k 1
n
k
2 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有 2. 设
例4 已知连续抛掷一枚硬币出现正面的概率为 p，现
抛掷该硬币直至出现正面，问需要抛掷的次数的
数学期望是多少？ 解: 设 N 为需要抛掷的次数，记
1 , 第一次抛出正面； Y 0 , 第一次抛出反面；
故 又因为 E ( N | Y 1) 1, E ( N | Y 0) 1 EN 从而有 EN p (1 p)1 EN EN 1 . p
N 于是 E X i 100 10 1000 i 1
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000 元.
N n
N E Xi | N N E( X ) i 1
N E X i E N E ( X ) E ( N ) E ( X ) i 1
由假设 E ( N ) 100, E ( X ) E ( X i ) 10
E[ X |] E (Y |),a .s..
5) 包含性：若1 ,2 是两个 子代数，使得
1 2 ，则有
E[ E ( X |1 ) |2 ] E[ E ( X |2 ) |1 ]
E ( X |), a .s.
4 独立性
1，则有 1) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var

Xk k 1
n

n
k 1
Var ( X k )
课堂小结
1. 收敛概念：几乎必然收敛（以概率1收敛）； 依概率收敛； 矩收敛（平均收敛）； 依分布收敛 2 条件概率与条件期望 1) 若 X 与 Y 均为离散型随机变量，则
E( X | Y y)
x p( X x | Y y)
Key : EX 1 EN
解: 因为 E (

Xi ) E E( i 1
N

n
Xi ) N i 1
N
Hale Waihona Puke E n1


X i N n p( N n) i 1
N


E n1




X i N n p( N n) i 1
x
2) 若 X 与 Y 有联合密度函数 f ( x , y ) ，则
E( X | Y y)



x f X |Y ( x | y )dx
3. 条件期望的性质 1) 对于随机变量 X 与 Y 有
y E ( X | Y y ) p(Y y ) EX E[ E ( X | Y )] E[ X | Y y ] f Y ( y )dy
EX E ( X | Y 1) P (Y 1) E ( X | Y 2) P (Y 2) E ( X | Y 3) P (Y 3)
由题意知：
E ( X | Y 1) 2; E ( X | Y 2) 3 EX ; E ( X | Y 3) 5 EX
例5 一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从
第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从
第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从 第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地. 假定
该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到
达安全地带所需要的平均时间是多少？ 解: 设 X 为矿工到达安全地带所需要的时间，Y 为他 最初选取的通道，则有
N N E X i E E X i | N） （ i 1 i 1
n ） 而 E X i | N n E X i | N n E X i nE ( X ) i 1 i 1 i 1