概率分布与数学期望
【真题感悟】
1. 【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．[来源:学科网Z X X K]
【答案】（1）（2）0.8192
【解析】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列为：
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件．
由题设知4n-（4-n）≥10，解得n≥，又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．
2. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点
恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6对，故
，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)
)＝， （（个球，量（，，
， 所以的分布列为
2
3
8C 232128C 834
(0)C 6611
P ξ⨯===
=21261(C 11
P ξ==
=416
1−
−=4
4491
(4)126C P X C ===313145364913(3)63
C C C C P X C +===11
(2)1(3)(4)14
P X P X P X ==−=−==
X
.
4.【2017年高考江苏卷】已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除为
的抽屉内，其中第．
（）试求编号为（）随机变量
，
（2）随机变量X 的概率分布为
随机变量X 的期望为．
13120()21434631269
E X =⨯+⨯
+⨯=m n ,*,2m n n ∈N ≥1,,m n +3,
,)m n +C 1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n −++−==++−=⋅=⋅−−∑∑。