如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A；n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B【复习目标】1•了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
2•了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
3•了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。
4 •理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
5•了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
活动一：基础知识1. 随机变量：1) 定义： _________________________________________________________ 。
2) ____________________________________ 表示方法：。
2. 随机变量分布列的定义：假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列3. 概率分布表将①用表的形式表示如下：4. 分布列的性质：概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件:(1) ______________________________(2) ______________________________5. 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X〜0-1或X〜两点分布.其概率分布表为：其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列(2)说明：①超几何分布的模型是不放回抽样；②超几何分布种的参数是(n, M , N)；③记号H (r; n, M , N)中各个字母的含义： _________________________ 7. n 次独立重复试验 定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成 ，每次试验的结果 仅有两种对立 的状态即A 与A ，每次试验中P(A) p 0,我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验.思考：n 次独立重复试验必须具备哪些条件？ &二项分布 定义：(1 )在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k ( 0 k n )次的概率为(2)若随机变量X 的分布列为P(X k) C ；p k q n k ,0 p 1, p q 1,k 0,1,2丄n ，则称X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p . 9.随机变量的均值离散型随机变量的均值：般地,则称 _____________________________ 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或其中X i 是随机变量X 的可能取值，p 是概率，P i 0,i 1,2,L , n, P 1P 2 L 几110.随机变量的方差与标准差 (1 )定义：离散型随机变量X 的分布列为则(X E(X))2描述了 X i (i 1,2丄，n)相对于均值E(X)的偏离程度. n而 V(X) (x EX)2p ii 1为这些偏离程度的加权平均 ，刻画了随机变量与其均值 E(X)的平均偏离程度，我们称 V(X)为随 机变量X 的方差,其算数平方根为随机变量 X 的标准差. (2)方差的意义：方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量，如果 V(X)值大，表示X 取值分散 程度大，E(X)的代表性差；而如果 V(X)值小，表示X 取值分散程度小，E(X)的代表性好.(3 )离散型随机变量方差的计算：n①利用定义计算： V(X)X i 2 P i 2，其中P i 是X 的分布列.i 1②利用公式计算:V(X)E(X 2)(E(X))2.活动二：基础练习1 .袋中有大小相同的红球 6个、白球 5个，从袋中每次任意取岀1个球，直到取岀的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则的可能值为答案 1 , 2,…，7为超几何分布列.如果随机变量(n, M,N)的超几何分布，记为并将P(Xr n r C M C N Mr)"C —JC NX 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X ~ H(n ,M ,N),0,1,2,L ,l 记为 H (r; n,M, N)X 服从参数为2.已知随机变量X的分布列为P (X=i)=丄 (i=1, 2, 3),则P (X=2)= .2a ----------------- 答案133•如果〜B 15，丄，则使P ( =k)取最大值的k值为4 --------------答案3或44. 已知的概率分布则在下列式子中，① E ( ) =- 1；② V (3)=空；③ P( =0)= 1 .273正确的个数是.答案25.已知的分布列为=-1,0,1,对应P=!.2,1 , 1，且设=26 3+1，则的期望是答案236.甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求的概率分布.解因为乙先投，且次数之和不超过4次，所以，甲投篮次数的随机变量可以是0, 1，2三个.由于乙先投，若乙第一次就投中，则甲就不再投，/• P ( =0) =0.6.当=1时，它包含两种情况.第一种：甲第1次投中，这种情况的概率为P1=0.4 X 0.4=0.16.第二种：甲第1次未投中，乙第2次投中，这种情况的概率为P2=0.4 X 0.6 X 0.6=0.144 ,/• P ( =1) =P!+P2=0.304.当=2时，投篮终止，/• P ( =2) =0.4 X 0.6 X 0.4=0.096.的概率分布为2活动三：典型例题例1某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金 50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令 X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额 .求: (1) X 的概率分布;(2) X 的均值.9 19P(X =50)=兀X 孑=贡故X 的概率分布为X0 10 20 50 60 P729 243 18 9 1 1 0001 0001 0001 0001 000729 243 1891⑵ E (X ) =0X 帀+10X r^+20X 茴+50X 贡+60X 贡=3・3(元).立的，并且概率都是 1.3(1 )设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列；(2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 Y 的概率分布;(3 )求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为 1，且每次试验结果是相互独立的，故 X 〜B ( 6,3所以X 的分布列为kP (X=k ) = C (5 - 35分(1) X 的所有可能取值为0，10，20，50，60.9 P (X=0)=— 10 3= 7291 000P (X=10) =— X10 9 10 + — X C 2X — X10 109 = 2431 000P(X=20)=10 C2 X丄X ?=旦10 10 1 000P(X=60)=110311 000 例2 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独2 6，k=0，1，2, 3，4, 5，6.3(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0, 1, 2, 3, 4, 5.其中：{Y=k} (k=0, 1, 2, 3, 4, 5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.k2P (Y=k)=-3而{ Y=6}表示一路没有遇上红灯,26 故其概率为P (Y=6)=-.38分因此Y的概率分布为:Y0123231121212P——■—3333333Y456456P 12122 33333(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X> 1}={ X=1 或X=2 或…或X=6},分所以其概率为6P (X> 1) = P(X k) 1 P(X o)k 16=1- 2= 665〜0.912.3 729分例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为0123P0.30.30.20.201212 分1416试评定这两个保护区的管理水平 . 解甲保护区的违规次数的数学期望和方差为E( )=0 X 0.3+1 X 0.3+2 X 0.2+3 X 0.2=1.3;V()=(0-1.3)2X 0.3+(1-1.3)2X 0.3+(2-1.3)2X 0.2+(3-1.3)2X 0.2=1.21.乙保护区的违规次数 的数学期望和方差为E( )=0 X 0.1+0.5+2 X 0.4=1.3;V( )=(0-1.3) 2X 0.1+(1-1.3) 2X 0.5+(2-1.3) 2X 0.4=0.41.因为E( )=E(), V( ) >V(),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.活动四：自主检测答案 p (1-p )2.若某一射手射击所得环数 X 的概率分布如下:则此射手“射击一次命中环数 X > 7"的概率是 ____________ .3 .设 〜B ( n, p )，若有E( )=12 , V( )=4，则n 、p 的值分别为 答案18，234.设随机变量X 的概率分布为：5. 有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为 0.6， 0.8，0.9.(1) 若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；(2) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (3) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为，求随机变量 的概率分布. 解 (1)甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为 P=c 3 X 0.6 2X 0.4=0.432.(2)记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁"三个事件分别为A ，B ，。