∞ n ∞ n
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
(− x ) ( −1) 2 n x , x ∈ ( −∞ , +∞ ) =∑ =∑ n! n! n= 0 n= 0
∞
10
e x + e− x 的幂级数. 展开成 x 的幂级数 . 例2 将 f ( x ) = chx = 2
第五节
∞ n=0
函数的幂级数展开式
n
f (x) = ∑ nx a
或 f (x) =
an(x − x0 )n ∑
n=0
∞
麦克劳林展开式
泰勒展开式
求幂级数, 在其收敛域内以 f (x) 为和函数 函数 为和函数—函数 求幂级数 的幂级数展开。 的幂级数展开。 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数 问题: 问题 1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数 2.如果能展开 a n 是什么 如果能展开, 是什么? 如果能展开 3.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一
n
∞
n+1
n
也成立, 上式对 x = 1 也成立,故收敛域为 x ∈ (−1,1] , −
13
例5 解
的幂级数. 将 f ( x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数.
∞ 1 因为 f ′( x ) = = ∑ ( − x 2 )n , | x | < 1 1 + x 2 n= 0
积分, 两边从 0 到 x 积分,得
n
2
n
x 2n+1 x 3 x5 n sin x = ∑(−1) = x − + − L , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n)! 2! 4! n=0
∞
15
∞
的幂级数. 将 f ( x ) = cos2 x 展开成 x 的幂级数. 例6 2 n+1 ∞ 2 n (2 x ) , 解法2 解法2 (cos x )′ = − sin 2 x = − ∑ ( −1) ( 2n + 1) ! n= 0
积分, 两边从 0 到 x 积分,得
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
n→ ∞
( 0) n 的收敛域， x 的收敛域， 其中 D 是幂级数 ∑ n! n= 0 f ′( 0 ) f ′′(0) 2 Rn ( x ) = f ( x ) − f (0) − x− x −L 1! 2!
∞
f
(n)
L−
f
( n)
( 0) n x n!
称为n阶余项. 称为 阶余项. 阶余项
6
f (0) n x具体步骤： 具体步骤： 函数 f(x) 展开成幂级数 ∑ ( ) n! n=0
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
11
例3
x 2n+1 x 3 x5 sin x = ∑(−1)n = x − + −L, (2n + 1) ! 3! 5! n=0
∞
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
两边求导, 两边求导 得
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, (2n)! 2! 4! n=0
1. 求 出 x = 0 处 的 函 数值及各阶导数值
∞
(n)
f (0) , f ′(0) , f ′′(0) , L , f (n ) (0), L ；
f (0) n x ，并求其收敛域 D. 写出幂 2. 写出幂级数 ∑ n! n=0
是否成立 成立。 3. 考察 lim Rn ( x ) = 0 在 D 上是否成立。
证 设函数 f ( x ) 能展开成幂级数
于是存在 r > 0 使得
∞ n n=0
∑a
n= 0
n
x ，
n
f ( x ) = ∑ a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + L ( | x | < r )
2
2
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
1 解法1 解法1 cos x = (1 + cos 2 x ) 2 2n ∞ 1 1 n (2 x ) = + ∑ ( −1) 2 2 n= 0 ( 2n) !
2
2 2 n −1 2 n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) = 1 + ∑ ( −1) n ( 2n ) ! n =1
∞
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n)! 2! 4! n=0
解
−x
e =∑
x n=0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
n ∞ n
n
e
(− x ) ( −1) n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) =∑ =∑ n! n= 0 n= 0 n !
∞
∞
所以
x 2n x2 x4 x 2n chx = ∑ = 1+ + + L+ +L 2! 4! ( 2n ) ! n = 0 ( 2n ) !
2
劳 级 . 克 林 数
x x + arctan x − = arctan x ， 解 f ′( x ) = 2 2 1+ x 1+ x x 1 dx 又 arctan x = ∫ 2 0 1+ x
=∫
x ∞ 0
∞ x 2 n+1 x 2 n+ 2 dx = ∑ ( −1) n 故 f ( x ) = ∫ ∑ ( −1) n 0 ( 2n + 1)( 2n + 2) 2n + 1 n= 0 n= 0 ∞ x 2n , ( −1 ≤ x ≤ 1) = ∑ ( −1) n−1 2n( 2n − 1) n =1 19
x2n+1 x3 x5 ar ctan x = ∑ −1)n ( = x − + −L 2n+1 3 5 n=0
∞
处也收敛, 上述幂级数在 x = ±1 处也收敛,且 arctan x 在 x = ±1 处 有定义且连续, 有定义且连续 , 所以上述展开式成立的范围为
x∈[−1,1] −
14
的幂级数. 将 f ( x ) = cos2 x 展开成 x 的幂级数. 例6
1 ∞ ( 2 x )2n+ 2 cos 2 x − 1 = − ∑ ( − 1) n 2 n=0 ( 2n + 2) !
2 n −1 ∞ 1 ∞ (2 x )2n n n 2 = ∑ ( −1) x 2n , = ∑ ( −1) 2 n =1 ( 2n ) ! n = 1 ( 2n ) !
2 2 n −1 2 n cos 2 x = 1 + ∑ ( −1) n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) 所以 ( 2n ) ! n =1
1
定理
函数 f ( x ) 能展开成幂级数
∑a x
n= 0 n
∞
n
的必要条
处有任意阶导数， 件是 f ( x ) 在点 x = 0 处有任意阶导数，且系数
f ′′(0) f ′( 0 ) , L , a2 = a0 = f (0) , a1 = , 2! 1! ( n) f ( 0) an = , L n! ∞
1 1 n n n x = ∑ ( −1) x − ∑ ( −1) 2 n=0 6 n= 0 3
∞ n
∞
∞
n
1 n 1 x , | x|<1 = ∑ ( −1) − n 2 6⋅ 3 n= 0
17
2 的幂级数. 将 f ( x ) = ln(4 + 3 x − x ) 展开成 x 的幂级数. 例8