2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数2yaxbxa的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）bbbbOOOOaaaaA．B．C．D．2．抛物线2yax的准线方程是y2，则a的值为（）A．18B．－18C．8D．－843．已知x(,0),cosx,则tg2x（）25A．724B．－724C．247D．－2474．设函数 fx 21,x0,(x)1若f(x)1,x的取值范围是（）则00x,x02A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ABA C O P O A (),0,则,P 的轨迹一定通过ABC 的ABA C A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数x1 yln,x(1,)x1的反函数为（） A ．x e1 y,x(0,)x e1 B ．x e1 y,x(0,)x e1 C ．x e1 y,x(,0)x e1D ．x e1 y,x(,0)x e17．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（） A ．3 a 3B ． 3 a4C ． 3 a6D ． 3 a128．设2 a0,f(x)axbxc ，曲线yf(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为0,,4则到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为（） PA ． 0,1aB ．0, 1 2aC ．0,b 2aD ． 0,b 12a 2xmxxn29．已知方程(x 2)(2)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列， 4则|mn|（）A ．1B ．3C ． 41D ． 23 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线yx1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为2 3，则此双曲线的方程是（）2y 2 x A ．1 2y 2x B ．12y 2 x C ．12y 2x D ．134 43 52 2511．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从 AB 的中点P 0沿与AB 的夹角的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角），设P 4的坐标为（x 4，0），若1x 42，则tg 的取值范围是（）A ．（1，1）B ．（ 31 3 ， 2）C ．（ 32 5 ， 1 2 ）D ．（ 25 ， 23 ） 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3B ．4C ．33D ．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13． ( 1 9x 2)的展开式中2x9x 系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该 公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次 应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不561432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若ABAC,BDCD,则BCAD②若ABCD,ACBD,则BCAD③若ABAC,BDCD,则BCAD④若ABCD,ACBD,则BCAD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点3M(,0)对称，且在区间0, 4 2上是单调函数求和的值19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA2，D、E分别是1 C C与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重1心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A到平面AED的距离1C1A1B1DEGCBA20．（本小题满分12分）已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：是否存在两个定点E、F，使得PEPF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a0,n为正整数n （Ⅰ）设y(xa)，证明n1 y'n(xa)；nn（Ⅱ）设f(x)x(xa)，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n)n22．（本小题满分14分）2设a0，如图，已知直线l:yax及曲线C:yx,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x 轴，交直线l 于点P n1，再从点P n1作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q 1.Q(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a nnn （Ⅰ）试求 a 与a 的关系，并求a n 的通项公式；n1n（Ⅱ）当1 n a1,a 时，证明12 k1(a a)akk1k2 1 32n （Ⅲ）当a1时，证明 k1(aa)a kk1k21 3c ylr2 Q 3 r 1 Q 1 Q 2Oa a 2a 3 1x 2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．2114．6,30,1015．12016．①④ 2 三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）P(A)0.90,P(B)P(C)0.95，P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P(A BC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 20.05 20.10 0.05 0.95 0.10 20.05 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.9020.95 0.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

解：由f(x)是偶函数,得f(x)f(x),即sin(x)sin(x),所以cossinxcossinx对任意x都成立,且0,所以得cos0.依题设0,.所以解得2由f( x)的图象关于点M对称,得f(34x) f3(4x),取x 0得,f3(4)sin(34)23cos 4 , f(34)3sin(3)cos424,3cos30,又0,得k,k1,2,3,,44223(2k1),k0,1,2,.当k0时, 23, f (x) sin(23x2)[0,在]上是减函数2;当k1,时2,f(x)sin(2x)[在0,]上是减函数;22当k0时, 103, f ( x) sin( x2)[0,在]上不是单调函数2;所以,综合得23或 2.19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，D, E分别CC,1AB,又DC平面ABC,的中点CDEF 为矩形是1连结DE,GADB,GDF.EFD是的重心在直角三角形中2 EFFGFD 13 FD 2 , EF 1, FD 3. 于是ED2,EG 12 3 6 3 . FCCD2,AB22, AB23,EB 13. sinEBG EG EB 6 3 1 3 2 3.AB 与平面 1ABD 所成的角是 arcsin 2 3 .（Ⅱ）连结A 1D ，有 V A V AEDD1 AAE 1EDAB,EDEF,又EFABF,ED 平面1,设A 1到平面AED 的距离为h ，AAB则ShSEDAED 1ABA111 又1SAAABSAEED S AAE AAB2,AED124216 2. h2226 36即AAED.1到平面的距离为2 36 . 2解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A1B 与平ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) A 1 (2a,0,2),E(a,a,1), 2a 3G(,2a 3 ,1 3 ). CE( a 3 , a 3 ,2 3),BD (0, 2a,1). GE BD 2 3 2 a 2 3 0. 解得a 1.BA 1(2,2,2),BG 2 3 ( , 4 3 , 1 3 ).cos ABG1 |BA 1BA 1BG ||BG | 2 14 3 / 1 33 21 7 3 . AB与平面 1ABDarccos所成角是7 3 . （Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA 1E D(0,0,2)(1,1,0)0, ED 平面AAE,又ED 1平面 A ED. （Ⅰ）当2 a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； 2 （Ⅱ）当2112a11a 20a 时，方程①表示椭圆，焦点E(a,)和F (a,)222222221111（Ⅲ）当a,方程①也表示椭圆，焦点))时E2和Faa2为合乎题意的(0,(aa))(0,(22222两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.证明：（Ⅰ）因为(xa)nnCknk0nxkk(a)，n 所以1knkk ykC n(a)xk0 knnk1nkk1C n(a)xn(xa)1n1.（Ⅱ）对函数nnf n(x)x(xa)求导数:f n (x)nnx1n1n(xa) ,所以f n (n)nn[n1(nna)1].当x a0时, f(x)n0.当x a时,f(nx)nx (xna)是关于x的增函数.因此,n当a,时(n1)nn(n1a)nn (n a)n nnnn∴f n(n1)(n1)[(n1)(n1a)](n1)(n(na))1nn1nfn(n1)(nn(na))(1)n().即对任意na,f n1(n1)(n1)f n(n).22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.11122224（Ⅰ）解：∵Q n(a,a),P(a,a),Q(a,a).n1nn1nnn1nn2aaa∴1,2a n a∴1na11112221222 a n a1(a)()ann2naaaa211(1)(1)2232 222122()a n a n32aaa( 1 a1a n22n112n1n1n 122)()221)a(aa11aa1 an1 12 ，∴().a n aa1211（Ⅱ）证明：由a=1知a n a,∵a,∴.1n1a 2,a324161∵当k1,a 2a.时k316∴ n k 1n 111(a k a 1)a (aa)(aa). kk2kk11n1161632 k1n1 2（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，a n a, 1因此 k n 1n21 nk1kk1222ii12i(a k a 1)a(aa)a(aa)akk2111111k1i12(1n321a5a1 23i21 a)aa(1a)a=. 11111113a i11 1121aa32013江苏高考数学试卷及答案（江苏卷）。