第三节 盘形凸轮廓线的设计当根据工作要求和结构条件选定了凸轮机构的类型、从动件的运动规律和凸轮的基圆半径（其确定将在下节中介绍）等结构参数后，就可以设计凸轮的轮廓曲线。
凸轮廓线的设计方法有图解法和解析法，其设计原理基本相同。
本节先简要介绍图解法，后重点介绍解析法设计凸轮廓线。
一、凸轮廓线设计的基本原理图4-13 反转法设计凸轮廓线基本原理图4-13所示为一尖顶对心盘形凸轮机构，设凸轮以等角速度ω逆时针转动，推动从动件2在导路中上、下往复移动。
当从动件处于最低位置时，凸轮轮廓曲线与从动件在A 点接触，当凸轮转过1ϕ角时，凸轮的向径A A 0将转到A A '0位置，而凸轮轮廓将转到图中虚线所示的位置。
从动件尖端从最低位置A 上升至B '，上升的位移为B A S '=1，这是从动件的运动位移。
若设凸轮不动，从动件及其运动的导路一起绕A 0点以等角速度-ω转过1ϕ角，从动件将随导路一起以角速度-ω转动，同时又在导路中作相对导路的移动，如图中的虚线位置，此时从动件向上移动的位移为B A 1。
而且，11S B A B A ='=，即在上述两种情况下，从动件移动的距离不变。
由于从动件尖端在运动过程中始终与凸轮轮廓曲线保持接触，所以从动件尖端的运动轨迹即为凸轮轮廓。
设计凸轮廓线时，可由从动件运动位移先定出一系列的B 点，将其连接成光滑曲线，即为凸轮廓线。
由于这种方法是假设凸轮固定不动而使从动件连同导路一起反转，故称为反转法。
对其它类型的凸轮机构，也可利用反转法进行分析和凸轮廓线设计。
二、图解法设计凸轮廓线1. 移动从动件盘形凸轮廓线的设计（1）尖端从动件 图4-14a 所示为一偏置移动尖端从动件盘形凸轮机构。
设已知凸轮的基圆半径为b r ，从动件导路偏于凸轮轴心A 0的左侧，偏距为e ，凸轮以等角速度ω顺时针方向转动。
从动件的位移曲线如图4-14b 所示，试设计凸轮的轮廓曲线。
图4-14 尖端从动件盘形凸轮廓线设计依据反转法原理，具体设计步骤如下。
1）选取适当的比例尺，作出从动件的位移线图，如图4-14b 所示。
将位移曲线的横坐标分成若干等份，得分点1，2， (12)2）选取同样的比例尺，以A 0为圆心，b r 为半径作基圆，并根据从动件的偏置方向画出从动件的起始位置线，该位置线与基圆的交点B 0，便是从动件尖端的初始位置。
3）以A 0为圆心，e K A =0为半径作偏距园，该圆与从动件的起始位置线切于K 点。
4）自K 点开始，沿-ω方向将偏距圆分成与图4-14b 的横坐标对应的区间和等份，得若干个分点。
过各分点作偏距圆的切射线，这些线代表从动件在反转过程中所依次占据的位置线。
它们与基圆的交点分别为C 1、C 2、…、C 11。
5）在上述切射线上，从基圆起向外截取线段，使其分别等于图4-14b 的横坐标对应的纵坐标，即1111'=B C ，2222'=B C ，…，得点B 1、B 2、…、B 11，这些点即代表反转过程中从动件尖端依次占据的位置。
6）将点B 0，B 1，B 2，…连成光滑的曲线（图中B 4至B 6间和B 10至B 0点间均为以A 0点为圆心的圆弧），即得所求的凸轮轮廓曲线。
（2）滚子从动件 对于图4-15所示的偏置移动件滚子从动件盘形凸轮机构，当用反转法使凸轮固定不动后，从动件的滚子在反转过程中，将始终与凸轮轮廓曲线保持接触，而滚子中心将描绘出一条与凸轮廓线法向等距离的曲线η。
由于滚子中心B 是从动件上的一个铰接点，所以它的运动规律就是从动件的运动规律，即曲线η可以根据从动件的位移曲线作出。
一旦作出了这条曲线，就可以顺利地绘制出凸轮的轮廓曲线了，具体作图步骤如下。
图4-15 滚子从动件凸轮廓线设计1）将滚子中心B 假想为尖端从动件的尖端，按照上述尖端从动件凸轮轮廓曲线的设计方法作出曲线η，这条曲线是反转过程中滚子中心的运动轨迹，称之为凸轮的理论廓线。
2）以理论廓线上各点为圆心，以滚子半径r r 为半径，作一系列滚子圆，然后作这族滚子圆的内包络线η'，就是凸轮的实际廓线。
很显然，该实际廓线是上述理论廓线的等距曲线（法向等距，其距离为滚子半径）。
若同时作滚子圆的内外包络线'η和''η，则形成图4-5a 所示的槽凸轮的轮廓线。
由上述作图过程可知，在滚子从动件盘形凸轮机构的设计中，b r 指的是理论廓线的基圆半径。
（3）平底从动件 平底从动件盘形凸轮机构凸轮轮廓曲线的设计方法，可用图4-16来说明。
其基本思路与上述滚子从动件盘形凸轮机构相似，不同的是取从动件平底表面上的B 0点作为假想的尖端从动件的尖端。
具体设计步骤如下。
1）取平底与导路中心线的交点B 0作为假想的尖端从动件的尖端，按照尖端从动件盘形凸轮的设计方法，求出该尖端反转后的一系列位置B 1，B 2，B 3，…。
2）过B 1，B 2，B 3，…各点，画出一系列代表平底的直线，得一直线族。
这族直线即代表反转过程中从动件平底依次占据的位置。
3）作该直线族的包络线，即可得到凸轮的实际廓线。
图中用小圆点表示了平底与凸轮实际廓线相切的点是随机构位置而变化的。
因此，为了保证在所有位置从动件平底都能与凸轮轮廓曲线相切，凸轮的所有廓线必须都是外凸的，并且平底左、右两侧的宽度应分别大于导路中心线至左、右最远切点的距离b '和b ''。
图4-16平底从动件凸轮廓线设计2. 摆动从动件盘形凸轮廓线的设计图4-17a 所示为一尖端摆动从动件盘形凸轮机构。
已知凸轮轴心与从动件转轴之间的中心距为a ，凸轮基圆半径为b r ，从动件长度l ，凸轮以等角速度ω逆时针转动，从动件的运动规律如图4-17b 所示。
设计该凸轮的轮廓曲线。
反转法原理同样适用于摆动从动件凸轮机构。
当给整个机构绕凸轮转动中心0D 加上一个公共的角速度-ω时，凸轮将固定不动，从动件的转轴A 将以角速度-ω绕0D 点转动，同时从动件将仍按原有的运动规律绕转轴A 摆动。
因此，凸轮轮廓曲线可按下述步骤设计。
图4-17 摆动从动件凸轮廓线设计1）选取适当的比例尺，作出从动件的位移线图，并将推程和回程区间位移曲线的横坐标各分成若干等份，如图4-17b 所示。
与移动从动件不同的是，这里纵坐标代表从动件的摆角ψ，因此纵坐标的比例尺是1mm 代表多少角度。
2）以0D 为圆心、以b r 为半径作出基圆，并根据已知的中心距a ，确定从动件转轴A的位置A 0。
然后以A 0为圆心，以从动件杆长l 为半径作圆弧，交基圆于C 0点。
A 0C 0即代表从动件的初始位置，C 0即为从动件尖端的初始位置。
3）以0D 为圆心，以a 为半径作转轴圆，并自A 0点开始沿着-ω方向将该圆分成与4-17b 中横坐标对应的区间和等份，得点A 1，A 2，…，A 9。
它们代表反转过程中从动件转轴A 依次占据的位置。
4）以上述各点为圆心，以从动件杆长l 为半径，分别作圆弧，交基圆于C 1，C 2….各点，得线段A 1C 1，A 2C 2…；以A 1C 1，A 2C 2，…为一边，分别作111B A C ∠，222B A C ∠，…，使它们分别等于图4-17b 中对应的角位移，得线段A 1B 1，A 2B 2，….。
这些线段即代表反转过程中从动件所依次占据的位置。
B 1，B 2，…即为反转过程中从动件尖端的运动轨迹。
5）将点B 0，B 1，B 2，…连成光滑曲线，即得凸轮的轮廓曲线。
由图中可以看出，该廓线与线段AB 在某些位置已经相交。
故在考虑机构的具体结构时，应将从动件做成弯杆形式，以避免机构运动过程中凸轮与从动件发生干涉。
需要指出的是在摆动从动件的情况下，位移曲线纵坐标的长度代表的是从动件的角位移。
因此，在绘制凸轮轮廓曲线时，需要先把这些长度转换成角度，然后才能一一对应地把它们转移到凸轮轮廓设计图上。
若采用滚子或平底从动件，则上述连B 1，B 2，…各点所得的光滑曲线为凸轮的理论廓线。
过这些点作一系列滚子圆或平底，然后作它们的包络线即可求得凸轮的实际廓线。
三、用解析法设计凸轮廓线所谓用解析法设计凸轮廓线，就是根据工作所要求的从动件的运动规律和已知的机构参数，求出凸轮廓线的方程式，并精确地计算出凸轮廓线各点的坐标值。
随着机械不断朝着高速、精密、自动化方向发展，以及计算机和各种数控加工机床在生产中的广泛应用，用解析法设计凸轮廓线具有了更大的现实意义，并且正在越来越广泛地用于生产。
下面以几种常用的盘形凸轮机构为例来介绍凸轮廓线设计的解析法。
1. 移动凸轮从动件盘形凸轮机构（1）理论廓线方程 图4-18所示为一偏置移动滚子从动件盘形凸轮机构。
以凸轮回转中心0A 点为坐标原点建立图示的直角坐标系xOy 。
图中，B 0点为从动件处于起始位置时滚子中心所处的位置；当凸轮转过ϕ角后，从动件的位移为s 。
根据反转法原理作图，由图中可以看出，此时滚子中心将处于B 点，该点的直角坐标为()()ϕϕϕϕsin cos cos sin 00e s s MN BN y e s s KH KN x -+=-=++=+= （4-16） 式中，e 为偏距。
式（4-16）即为凸轮理论廓线的方程式。
若为对心移动从动件，由于0=e ，b r s =0，故上式可写成()()ϕϕcos sin s r y s r x b b +=+= （4-17）（2）实际廓线方程 如前所述，在滚子从动件盘形凸轮机构中，凸轮的实际廓线是以理论廓线上各点为圆心、作一系列滚子圆，然后作该圆族的包络线得到的。
因此，实际廓线与理论廓线在法线方向上处处等距，该距离均等于滚子半径r r 。
所以，如果已知理论廓线上任一点B 的坐标（x ，y ）时，只要沿理论廓线在该点的法线方向取距离为r r ，即可得到实际廓线上相应点B '的坐标值（x '，y '）。
由高等数学可知，曲线上任一点的法线的斜率与该点的切线的斜率互为负倒数，故理论廓线上B 点处的法线nn 的斜率为⎪⎪⎭⎫ ⎝-=-=ϕϕβd dy d dx dy dx tan （4-18） 式中ϕd dx ，ϕd dy 可由式（4-16）求得。
图4-18 解析法设计移动滚子从动件凸轮廓线由图4-18可看出，当β角求出后，实际廓线上对应点B '的坐标可由下式求出：ββsin cos r r r y y r x x ='=' （4-19） 式中βcos ，βsin 可由式（4-18）求得，即有22cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕϕβd dy d dx d dy ，22sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕϕϕβd dy d dx d dx将βcos ，βsin 的表达式代入式（4-19）可得2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±='ϕϕϕϕϕϕd dy d dx d dx r y y d dy d dx d dy r x x rr（4-20）此即凸轮实际廓线的方程式。