约束阻尼板结构振动声辐射优化郑玲;祝乔飞【摘要】On the basis of the classical plate theory,a laminated damping plate model was built.Regarding the plate inlaid in an infinite rigid baffle,its acoustical power and sensitivity expressions were obtained using Rayleigh integral.A topology optimization model for placement of constraint damping material was established with the objective function defined as the minimum of acoustical power under the exciting force with the first order modal frequency or the corresponding frequency band and the constraint condition defined as the volume fraction of damping material.With the evolutionary structural optimization (ESO)method,the topology optimization of damping plate was conducted and the optimal placement of the damping material under the volume requirement was pared with acoustic radiations of plates without constraint damping material and with full constraint damping material,it was concluded that the optimization method adopted can achieve an effective control on the acoustic radiation of the plate with less damping material usage,and provides a crucial theoretical reference and technical means for the low noise design of plates.%根据经典薄板理论，建立约束阻尼板有限元模型，将其视作镶嵌于无限大刚性障板，利用Rayleigh积分法推导结构的辐射声功率及灵敏度表达式。
以一阶峰值频率或频带激励下的声功率最小化为目标，约束阻尼材料体积分数为约束条件，建立拓扑优化模型，采用渐进优化算法，编制了优化计算程序，获得了约束阻尼材料的最优拓扑构型，并与全覆盖板及基板的辐射声功率进行了对比。
研究表明：以声功率最小化为目标，对约束阻尼材料布局进行拓扑优化，能有效抑制结构的振动声辐射，为结构低噪声设计提供了重要的理论参考和技术手段。
【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】7页(P91-96,108)【关键词】约束阻尼板;Rayleigh积分;辐射声功率;渐进优化算法【作者】郑玲;祝乔飞【作者单位】重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044;重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044【正文语种】中文【中图分类】TH212;TH213.3尽管主动振动噪声控制能有效抑制结构的低频噪声，但低噪声设计以其优异的性能和可靠性而备受关注。
Kikuchi[1]首先将拓扑优化方法应用于结构低噪声设计，通过材料布局优化，实现了结构低噪声设计。
Luo等[2]采用拓扑优化方法，通过对封闭结构的优化，大大降低了封闭结构内部的声辐射。
Baz等[3]采用有限元法，建立了板-声腔耦合动力学模型，以声腔模态频率峰值声压最小化为目标函数，对板的材料布局进行了拓扑优化设计，实验验证了理论分析结果的正确性。
对结构表面进行阻尼处理，能有效降低结构的振动与声辐射，广泛应用于航空、航天、汽车及船舶等领域。
阻尼结构可分为自由阻尼和约束层阻尼，相比自由阻尼，约束层阻尼消耗的能量更多，减振作用更大。
如何根据结构的动力学特性要求，确定阻尼材料的最优布局，是阻尼结构设计的一个关键问题。
郭中泽等[4]采用渐进结构拓扑优化方法，以结构模态损耗因子最大化为目标，研究了阻尼结构设计中阻尼材料的最优分布问题。
杨德庆等[5]采用均匀化拓扑优化方法，以薄板模态频率最大化为目标，研究了薄板的最优材料布局问题。
李以农等[6]采用渐进结构拓扑优化算法，以结构模态阻尼比最大化为目标函数，研究了约束层阻尼梁的阻尼材料最优分布问题。
郑玲等[7]建立了约束阻尼板的有限元模型，推导了模态阻尼比对单元胞位置的灵敏度，提出了一种基于进化方式的约束阻尼优化布局方法。
李超等[8]研究了圆柱壳体上阻尼材料的最优分布问题。
王明旭等[9]将变密度法引入阻尼材料的布局设计，推导了灵敏度表达式，提出了模态振型的跟踪方法。
吕毅宁等[10]给出了附加自由阻尼复杂结构的有限元建模方法，以结构的动态柔度最小化为目标函数，计算了薄板和车身地板附加自由阻尼的拓扑优化布局。
以上文献均以结构振动损耗因子、固有频率或动柔度为目标函数，采用拓扑优化方法，研究了阻尼材料的最优布局。
在某些特殊环境下，结构振动导致的声辐射更为人们所关注，如潜艇的结构静音设计、飞机或汽车舱内噪声的控制等。
目前，以声压或声功率等声学性能为目标函数，采用拓扑优化方法，对结构进行优化已有大量研究。
Sigmund等[11]将拓扑优化方法应用于室内声学设计和噪声屏蔽墙设计，对比了优化前后的材料布局与声压均方值变化。
Sun等[12]建立了蜂窝夹层梁的有限元模型，以特定频率辐射声功率最小化为目标函数，对蜂窝的形状及尺寸进行了优化。
但是，采用拓扑优化方法，以辐射声功率最小化为目标，对约束阻尼材料布局进行优化的研究尚不多见。
本文首先建立四边简支约束层阻尼板有限元模型，用Rayleigh积分推导结构辐射声功率，并进行灵敏度分析，以声功率最小化为目标函数，采用渐进优化算法，对约束阻尼材料布局进行优化。
1 约束层阻尼板振动和声辐射计算1.1 约束层阻尼板有限元模型图1 约束层阻尼板单元Fig. 1 The model of PCLD structure约束阻尼单元模型如图1所示。
每个单元均由基板层、粘弹性(VEM)层和约束层组成，下标分别用p、v、c表示。
每个节点有7个自由度，分别为约束层中性面内x方向的位移uci、约束层中性面内y方向的位移vci、基板层中性面内x方向的位移upi、基板层中性面内y方向的位移vpi、单元中性面的横向位移wi以及绕x 轴方向的转角θxi和y轴方向的转角θyi。
节点位移向量为：Δi={uci vci upi vpi wi θxi θyi}T(i=1,2,3,4)(1)单元位移向量为：(2)根据单元位移模式，可得约束层阻尼单元的形函数[13]：N={[Nuc];[Nvc];[Nup];[Nvp];[Nw];[Nwx];[Nwy]}(3)其中，Nuc、Nvc、Nup、Nvp、Nw、Nwx、Nwy分别为对应单元节点自由度uc、vc、up、vp、w、θx、θy的形函数。
约束阻尼单元各层的动能和应变势能如下[14]：(5)(Nvc)TNvc+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=(6)(7)(Nvv)TNvv+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=(8)(9)(10)其中，T和P分别表示结构单元的动能和应变势能。
运用Hamilton原理，可导出约束层阻尼单元的质量矩阵和刚度矩阵：m=mp+mc+mvk=kp+kc+kv+kβv(12)其中，mp、mc、mv分别为基板、约束层以及粘弹性层的质量矩阵，kp、kc、kv、kβv分别为基板、约束层、粘弹性层位移及横向剪切变形的刚度矩阵。
将单元质量矩阵和刚度矩阵进行组集，获得约束层阻尼板结构的总体质量矩阵和刚度矩阵：(13)(14)因此，约束层阻尼板的有限元动力学模型为：(15)这里，粘弹性层的剪切模量为G=Gv(1+ηi)，η为损耗因子，[K]为复刚度矩阵。
1.2 约束层阻尼板的振动模型假设约束层阻尼板的外激励为简谐激励f(t)=Fejωt，位移响应满足x(t)=Xejωt。
将以上两式代入(15)式，消去ejωt，得：(-ω2[M]+[K]){X}={F}(16)因此，约束层阻尼板节点位移响应为：{X}=[H(ω)]{F}(17)节点速度响应为：{V}=iω{X}=iω[H(ω)]{F}其中：H(ω)=(-ω2[M]+[K])-1为位移传递函数。
1.3 约束层阻尼板声辐射计算将约束层阻尼板镶嵌于无限大刚性障板上，运用简化后的Helmholtz公式，即Rayleigh积分计算其声辐射。
振动辐射声功率可由表面声压p(P)和表面法向速度vn(P)表示：(19)式中，表示表面vn(P)的共轭复数，S(P)是结构离散后第P个单元的面积。
考虑格林函数关于P、Q对称，则辐射声压：(20)将(20)式代入(19)式：(21)考虑到格林函数的对称性，式(21)可表示为：(22)将式(22)写成矩阵形式，其中{V}为各单元上法向速度构成的向量。
W(ω)={V}T[R]{V}(23)在结构均匀离散情况下，矩阵R的形式为[15]：(24)rmn为单元m和单元n之间的距离。
当m=n时，即rmn=0，此时这样就解决了奇异积分问题。
在一个频带内的平均声功率表示为：(25)离散后得：(26)其中，Wave表示频带内的平均辐射声功率，N表示频带内激励力频率的总数，ωi表示第i个激励力频率。
2 优化模型以简谐激励作用下约束阻尼板辐射的声功率最小化为目标函数，约束阻尼材料体积分数为约束条件，建立拓扑优化模型：(27)其中，X={β1 β2 … βn}T为设计变量，表示约束阻尼单元的存在状态。
当βi=1时，表明第i个单元位置有约束阻尼单元，当βi=0时，表明第i个单元位置无约束阻尼单元，n为约束阻尼单元总数，W为约束阻尼板辐射声功率，V为约束阻尼材料体积，V*是体积约束。
3 灵敏度分析约束阻尼板的速度响应为：V=iωX(28)速度对设计变量β的偏导数为：(29)将式(15)两端对设计变量h求偏导数：(30)将上式整理并代入式(29)，可得速度对设计变量的灵敏度[16]：(31)结合式(23)，可求出约束阻尼板辐射声功率对设计变量的灵敏度：(32)这里的设计变量β是约束阻尼单元的存在状态，根据式(31)，结合设计变量的定义，速度对设计变量的灵敏度可用约束阻尼单元删除前后的速度变化量来表示。