第九章变量之间的关系
1 用表格表示变量之间的关系
1.变量、自变量和因变量
在某一变化过程中不断变化的量叫做,若两个变量x,y,其中y随着变量x的变化而变化,则把x叫做,y叫做.
2.常量
在变化过程中数值始终不变的量叫做.
3.用表格表示变量之间的关系
借助表格,我们可以表示随的变化而变化的情况.
变量与常量、自变量与因变量
[典例1]某品牌豆浆机成本为150元,销售商对其销量、定价的关系进行了调查,结果如表:
下列说法正确的是( )
A.定价是常量,销量是变量
B.定价是变量,销量是不变量
C.定价与销量都是变量,定价是自变量,销量是因变量
D.定价与销量都是变量,销量是自变量,定价是因变量
[变式1]“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, 随变化而变化,其中自变量是,因变量是.
[变式2]某工厂有一个容积为280 m3的水池,现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水,已知每台抽水机每小时抽水15 m3.
(1)抽水2 h后,池中还有水m3.
(2)在这一变化过程中哪些是变量?哪些是常量?
用表格表示变量之间的关系
[典例2]在烧水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:
(1)上表反映了哪两个量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?
(3)时间每过1 min,水的温度变化情况如何?
(4)时间为8 min时,水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?
(5)根据表格,你认为时间为16 min和 18 min 时水的温度分别为多少?
(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?
[变式3]如表所示为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元,随着不同幅度的降价,日销量(单位:件)发生相应的变化:
这个表反映了个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.从表中可以看出每降价5元,日销量增加件,从而可以估计降价之前的日销量为件;据此估计当售价为500元时,日销量为件.
2 用表达式表示变量之间的关系
表达式是我们表示之间关系的另一种方法,利用表达式,我们可以根据任何一个的值求出相应的的值.
用表达式表示变量之间的关系
[典例]如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合.在点P的运动过程中,△APB的面积随着CP的变化而变化.
(1)在这个变化过程中,CP的长和△APB的面积哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)设CP=x cm,若用y(cm2)表示△APB的面积,则y与x之间的关系式为_____
.
(3)在CP从3 cm变化到6 cm的过程中,△APB的面积从cm2变化到 cm2.
[变式1]某产品每件成本为10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表,下面能表示日销售量y(件)与销售价x(元)的关系式是( )
A.y=x+15
B.y=-x+15
C.y=x+40
D.y=-x+40
[变式2]为了增强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:
(1)该市某户居民5月份用水x t(x>5),应交水费y元,求出y与x之间的关系式.
(2)如果某户居民某月应交水费24元,请你帮忙算出这个月这户居民用了多少吨水.
3 用图象表示变量之间的关系
图象是表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.
在用图象表示变量之间的关系时,通常用的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
用曲线型图象表示变量之间的关系
[典例1]某地区一天的气温变化较大,如图所示表示该地区一天24小时的气温变化情况.
(1)图中描述的两个变量中自变量是什么?因变量是什么?
(2)一天中哪个时间气温最高、最低?分别是多少?
(3)在什么时间范围内气温上升?什么时间范围内气温下降?
(4)该地区一天的温差是多少?若该地区是一旅游景点,你应向到该地旅游的游客提出怎样的合理化建议?
[变式1]如图所示,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了某县冬季某天气温随时间变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )
A.凌晨4时气温最低,为-3 ℃
B.从0时至14时,气温一直在上升
C.14时气温最高,为8 ℃
D.从14时至24时,气温一直在下降
用直线或折线型图象表示变量之间的关系
[典例2]如图所示的是一辆汽车在行驶途中的速度v(km/h)随时间t(min)的变化示意图,请根据图象回答下列问题:
(1)从点A到点B,点E到点F,点G到点H分别表明汽车是什么状态?
(2)点A表明汽车的速度是多少?点C呢?
(3)汽车在哪段时间停车休息?休息了多长时间?
(4)司机在第28 min时开始匀速先行驶了4 min,之后立即减速行驶2 min停止,请你在图中补上从28 min以后表示汽车速度与行驶时间关系的图象.
[变式2]如图①所示,在长方形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,三角形ABP的面积为y,如果y关于x的图象如图②所示,那么长方形ABCD的周长是( )
A.13
B.17
C.18
D.26
参考答案：
第九章变量之间的关系
1 用表格表示变量之间的关系
1.变量自变量因变量
2.常量
3.因变量自变量
[典例1]C
[变式1]气温时间时间气温
[变式2]解:(1)190
(2)在这一变化过程中,水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机每小时抽水的量是常量;抽水时间、水池中水的量是变量.
[典例2]解:(1)题中表格反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量.
(2)在10 min以前水的温度随着时间的变化而升高,10 min 以后水的温度就确定在100 ℃.
(3)在10 min以前,时间每过1 min,水的温度上升7 ℃,10 min以后水的温度就不再变化了.
(4)时间为8 min时水的温度是86 ℃;时间为9 min时水的温度是93 ℃.
(5)根据表格,时间为16 min和18 min时水的温度均为100 ℃.
(6)为了节约能源,应在10 min时停止烧水.
[变式3]两降价日销量30 750 1 110
2 用表达式表示变量之间的关系
变量自变量因变量
[典例]解:(1)CP的长是自变量,△APB的面积是因变量.
(2)y=24-3x
(3)156
[变式1]D
[变式2]解:(1)y=2.4×5+4(x-5)
=12+4x-20
=4x-8.
(2)2.4×5=12,
因为24>12,
所以用水量超过了5 t,
所以4x-8=24,
解得x=8.
答:这个月这户居民用了8 t水.
3 用图象表示变量之间的关系
水平方向竖直方向
[典例1]解:(1)自变量是时间,因变量是气温.
(2)一天中0时和24时的气温最低,最低气温是 5 ℃;
15时的气温最高,最高气温是40 ℃.
(3)在0时到6时、9时到15时,气温上升;在6时到9时、15时到24时,气温下降.
(4)该地区一天的温差是40-5=35(℃).
该地区一天内的气温变化比较大,建议游客选择6时到12时外出观光.(答案不唯一)
[变式1]B
[典例2]解:(1)从点A到点B表明汽车在匀速运动,点E到点F表明汽车在匀加速运动,点G到点H表明汽车在匀减速运动;
(2)点A表明汽车的速度是30 km/h,点C表明汽车的速度是0 km/h;
(3)汽车在10~12 min这个时间段内停车休息,休息了2 min;
(4)如图所示:
[变式2]C。